Drei Grundfunktionen
Aus \((e^x)'=e^x\), \((\sin x)'=\cos x\) und \((\cos x)'=-\sin x\) liest man die Stammfunktionen rückwärts ab.
- \(e^x\):\(F(x)=e^x\) — die e-Funktion ist ihre eigene Stammfunktion.
- \(\cos x\):\(F(x)=\sin x\), denn \((\sin x)'=\cos x\).
- \(\sin x\):\(F(x)=-\cos x\), denn \((-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x\).
- Kreislauf:Ableiten: \(\sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x\to\sin x\) — Integrieren läuft ihn rückwärts.
- Bogenmaß:Die Regeln gelten nur, wenn \(x\) im Bogenmaß steht.
Stammfunktionen: \(e^x\to e^x\), \(\sin x\to-\cos x\), \(\cos x\to\sin x\)
Lineare innere Funktion
Steht statt \(x\) ein Term \(ax+b\) im Argument, liefert die Kettenregel beim Ableiten den Faktor \(a\) — beim Integrieren muss er wieder weg.
Herleitung:
- \(e^{ax+b}\):\(F(x)=\tfrac1a\,e^{ax+b}\).
- \(\sin(ax+b)\):\(F(x)=-\tfrac1a\cos(ax+b)\).
- \(\cos(ax+b)\):\(F(x)=\tfrac1a\sin(ax+b)\).
- Beispiel:\(f(x)=e^{3x-1}\Rightarrow F(x)=\tfrac13e^{3x-1}\); Probe: \(\tfrac13\cdot e^{3x-1}\cdot3=e^{3x-1}\).
- Grenze:nur für lineare innere Funktionen — \(e^{x^2}\) lässt sich so nicht integrieren.
Bring die Karten in Integrier-Reihenfolge: Jede Karte ist eine Stammfunktion ihrer linken Nachbarin. Ziehen oder antippen — oder mit Leertaste aufnehmen, Pfeiltasten, Leertaste ablegen.
Halte fest: Integrieren läuft den Ableitungskreislauf rückwärts — bei \(\sin(ax+b)\) und \(\cos(ax+b)\) kommt bei jedem Schritt der Faktor \(\tfrac1a\) hinzu.
Lineare innere Funktion: \(f(x)=g(ax+b)\ \Rightarrow\ F(x)=\dfrac1a\,G(ax+b)\quad(a\ne0)\)
Allgemeine Hinweise
Das Minus beim Sinus
Zu \(\sin x\) gehört \(-\cos x\), nicht \(\cos x\) — denn \((\cos x)'=-\sin x\). Die Probe zeigt es in einer Zeile.
Durch a teilen, nicht mal a
Zu \(e^{4x}\) gehört \(\tfrac14e^{4x}\). Wer \(4e^{4x}\) schreibt, hat abgeleitet statt integriert.
Rechner auf RAD
Werte von \(\sin\) und \(\cos\) in Stammfunktionen immer im Bogenmaß berechnen — GTR und CAS vorher auf Radiant stellen.