Ableiten ist der Schiedsrichter: Eine einzige Probe entscheidet, ob ein Kandidat wirklich eine Stammfunktion ist — und welche Konstante passt.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Wer besteht die Probe?
AFB I
Gib alle Funktionen \(F\) an, die eine Stammfunktion von \(f(x)=6x^2-2\) sind.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(12x\) ist die Ableitung von \(f\) — die falsche Richtung. \((6x^3-2x)'=18x^2-2\): Der Faktor wurde nicht durch \(3\) geteilt. \((2x^3)'=6x^2\): Der Summand \(-2\) fehlt, er stammt von \(-2x\). Jede Konstante, auch \(-\sqrt2\), fällt beim Ableiten weg.
Leite jeden Kandidaten ab und vergleiche mit \(6x^2-2\).
Konstanten wie \(7\) oder \(-\sqrt2\) haben die Ableitung \(0\) — sie stören die Probe nicht.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Fünf Behauptungen über Stammfunktionen.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Stammfunktion heißt: \(F'=f\). Daraus folgt alles andere — gleiche Steigung aller \(F+C\), parallele Graphen, unendlich viele Stammfunktionen.
Übersetze jede Aussage in die Gleichung \(F'(x)=f(x)\).
Zwei Stammfunktionen: \(G(x)=F(x)+C\). Was folgt daraus für einen gemeinsamen Punkt, wenn \(C\ne0\) ist?
A3
Die Probe in Worten
AFB I
Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Eine Funktion \(F\) heißt von \(f\), wenn \(F'(x)=f(x)\) gilt. Zur Probe muss man \(F\) und mit \(f\) vergleichen. Addiert man zu \(F\) eine \(C\), ändert sich die Ableitung nicht, weil deren Ableitung ist. Die Graphen aller Stammfunktionen sind deshalb in gegeneinander verschoben
Eine Verschiebung in \(x\)-Richtung würde aus \(F(x)\) die Funktion \(F(x-c)\) machen — deren Ableitung ist \(f(x-c)\), also im Allgemeinen eine andere Funktion. Nur die Verschiebung nach oben oder unten lässt die Ableitung unverändert.
Was passiert beim Ableiten mit einem Summanden, der kein \(x\) enthält?
Eine additive Konstante verschiebt einen Graphen nach oben oder unten.
A4
Zu welcher Funktion gehört der Kandidat?
AFB II
Gegeben sind \(f_1(x)=3x^2\) und \(f_2(x)=2x+3\). Ordne jeden Kandidaten zu: Stammfunktion von \(f_1\), von \(f_2\) oder von keiner der beiden.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Stammfunktion von f₁
2Stammfunktion von f₂
3von keiner der beiden
Produkte vor dem Ableiten ausmultiplizieren: \((x+1)(x+2)=x^2+3x+2\) und \(x(x+3)-4=x^2+3x-4\) — beide unterscheiden sich von \(x^2+3x\) nur um eine Konstante. \((2x^3+1):2=x^3+\tfrac12\). \(6x\) ist die Ableitung von \(f_1\), und \((x^2+3)'=2x\) — da fehlt die \(3\).
Multipliziere Klammern aus und schreibe Brüche als Summe, bevor du ableitest.
\((x^2+3x+2)'=2x+3\). Eine zusätzliche Konstante ändert nichts an der Probe.
A5
Die passende Konstante
AFB II
\(F(x)=x^3-2x^2+C\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)=3x^2-4x\). Bestimme \(C\) so, dass der Graph von \(F\) durch den Punkt \(P(3\,|\,-1)\) verläuft.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(F(3)=27-18+C=9+C\stackrel{!}{=}-1\), also \(C=-10\). Typischer Fehler: den Punkt in \(f\) statt in \(F\) einsetzen — die Konstante gehört zur Stammfunktion.
Der Punkt liegt auf dem Graphen von \(F\), also gilt \(F(3)=-1\).
\(3^3-2\cdot3^2=27-18=9\). Löse \(9+C=-1\).
A6
Eine Schar, fünf Werte
AFB II
Alle fünf Funktionen sind Stammfunktionen von \(f(x)=2x-4\). Vergleiche ihre Funktionswerte an der Stelle \(x=1\) und ordne vom kleinsten (oben) zum größten (unten).
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1F₂(x) = x² − 4x
2F₄(x) = x² − 4x + 1
3F₃(x) = (x − 2)²
4F₁(x) = x² − 4x + 6
5F₅(x) = x(x − 4) + 8
Werte bei \(x=1\): \(-3,\,-2,\,1,\,3,\,5\). Umgeschrieben: \((x-2)^2=x^2-4x+4\) und \(x(x-4)+8=x^2-4x+8\). Alle sind \(x^2-4x+C\) — und weil sie sich nur um \(C\) unterscheiden, ist die Reihenfolge an jeder Stelle dieselbe.
Schreibe jede Funktion in der Form \(x^2-4x+C\).
Dann entscheidet allein \(C\) über die Reihenfolge — die Stelle \(x=1\) ist eigentlich egal.
A7
Rechenkette: Zufluss in einen Tank
MixAFB II
In einen Tank fließt Wasser mit der Rate \(r(t)=0{,}3t^2-2{,}4t+6\) (in \(\tfrac{\mathrm L}{\mathrm{min}}\), \(t\) in min). Als Bestandsfunktion wird \(B(t)=0{,}1t^3-1{,}2t^2+6t+C\) vorgeschlagen; die Probe \(B'=r\) stimmt. Ermittle:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
\(C\), wenn zu Beginn \(40\,\mathrm L\) im Tank sindL
Wasser im Tank nach \(5\) minL
Zunahme in den ersten \(5\) minL
kleinste Zuflussrate im Zeitraum \(0\le t\le10\)L/min
\(B(0)=C=40\). \(B(5)=12{,}5-30+30+40=52{,}5\). Die Zunahme \(B(5)-B(0)=12{,}5\) hängt nicht von \(C\) ab — der Anfangsbestand kürzt sich weg (2.1.2). Kleinste Rate (Kapitel 1): \(r'(t)=0{,}6t-2{,}4=0\Rightarrow t=4\), \(r(4)=1{,}2\,\tfrac{\mathrm L}{\mathrm{min}}\) — die Rate bleibt positiv, der Tank füllt sich die ganze Zeit.
Beim Anfangsbestand ist \(t=0\): Alle Summanden mit \(t\) verschwinden.
Für die kleinste Rate: \(r'(t)=0\) setzen — das ist der Tiefpunkt der Parabel.
A8
Probe mit Potenzen
AFB III
Verbinde jede Funktion \(f\) mit ihrer Stammfunktion \(F\). Prüfe durch Ableiten — alle Exponenten sind erlaubt, auch negative und gebrochene.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Umschreiben und ableiten: \((x^{-2})'=-2x^{-3}\), \((x^{\frac12})'=\tfrac12x^{-\frac12}=\tfrac1{2\sqrt x}\), \((x^{-1})'=-x^{-2}\), \((2x^{\frac32})'=3x^{\frac12}=3\sqrt x\). Verwechslungsgefahr: \(\tfrac1{x^2}\) und \(\tfrac1x\) — der Exponent der Stammfunktion ist um \(1\) größer, also \(-1\) statt \(-2\).
Schreibe Wurzeln und Brüche als Potenzen: \(\sqrt x=x^{\frac12}\), \(\tfrac1{x^2}=x^{-2}\), \(x\sqrt x=x^{\frac32}\).
Potenzregel \((x^r)'=r\,x^{r-1}\) gilt für alle reellen Exponenten.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB III
Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Überprüfe jeden Satz.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten passiert Satz 6: \(x\) wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt. Satz 4 zeigt die umgekehrte Fehlvorstellung — eine Stammfunktion sei eindeutig.
Führe bei jedem Satz selbst die Probe durch: \(F\) ableiten und mit \(f\) vergleichen.
Bei Satz 2 erst \(f\) ausmultiplizieren, dann den Vorschlag ausmultiplizieren und ableiten.
A10
Trickaufgabe: Die Quadrate verschwinden
TrickAFB III
\(F(x)=(2x+1)^2-4x^2\) ist eine Stammfunktion einer Funktion \(f\). Gib \(f(x)\) so einfach wie möglich an.
Gib den Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Ausmultipliziert ist \(F(x)=4x^2+4x+1-4x^2=4x+1\) — eine Gerade. Also \(f(x)=F'(x)=4\). Wer mit Ketten- oder Potenzregel direkt ableitet, erhält \(4(2x+1)-8x=4\) — richtig, aber umständlich. Wer „\(8x+4\)“ eingibt, hat \(-4x^2\) beim Ableiten vergessen.
Gesucht ist \(f=F'\). Vereinfache \(F\) aber zuerst.
\((2x+1)^2=4x^2+4x+1\). Was bleibt nach Abzug von \(4x^2\) übrig?
