Wachstum einer Sonnenblume
AFB I–IIIn einem Biologie-Projekt wird das Höhenwachstum einer Sonnenblume beobachtet. Die Wachstumsrate wird modellhaft beschrieben durch
\(w(t)=-0{,}006\,t^2+0{,}24\,t\) mit \(t\) in Tagen seit Beobachtungsbeginn, \(0\le t\le40\), und \(w(t)\) in \(\tfrac{\mathrm{cm}}{\text{Tag}}\).
Für die Höhe der Pflanze (in cm) wird die Funktion \(H(t)=-0{,}002\,t^3+0{,}12\,t^2+10\) vorgeschlagen.
Alle Teilaufgaben sind ohne Hilfsmittel zu bearbeiten. Insgesamt 12 BE.
- Weisen Sie nach, dass \(H\) eine Stammfunktion von \(w\) ist.3 BE
- Bestimmen Sie die Höhe der Sonnenblume zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums.3 BE
- Berechnen Sie, an welchem Tag die Sonnenblume am schnellsten wächst, und geben Sie die maximale Wachstumsrate an.3 BE
- Interpretieren Sie den Term \(H(30)-H(10)\) im Sachzusammenhang und berechnen Sie seinen Wert.3 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(H'(t)=-0{,}002\cdot3t^2+0{,}12\cdot2t+0=-0{,}006t^2+0{,}24t=w(t)\).
Da \(H'=w\) für alle \(t\) gilt, ist \(H\) eine Stammfunktion von \(w\). Die Konstante \(10\) fällt beim Ableiten weg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(H(0)=10\): Zu Beginn ist die Pflanze \(10\,\mathrm{cm}\) hoch.
\(H(40)=-0{,}002\cdot64\,000+0{,}12\cdot1600+10=-128+192+10=74\).
Nach \(40\) Tagen ist die Sonnenblume \(74\,\mathrm{cm}\) hoch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(w'(t)=-0{,}012t+0{,}24=0\;\Rightarrow\;t=20\). Da \(w\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt dort ein Maximum.
\(w(20)=-0{,}006\cdot400+0{,}24\cdot20=-2{,}4+4{,}8=2{,}4\).
Am 20. Tag wächst die Sonnenblume am schnellsten, nämlich um \(2{,}4\,\mathrm{cm}\) pro Tag.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(H(30)-H(10)\) ist die Zunahme der Höhe vom 10. bis zum 30. Tag.
\(H(30)=-54+108+10=64\), \(H(10)=-2+12+10=20\), also \(H(30)-H(10)=44\).
In diesen \(20\) Tagen wächst die Pflanze um \(44\,\mathrm{cm}\) — mehr als die Hälfte ihres gesamten Zuwachses von \(64\,\mathrm{cm}\). Die Anfangshöhe \(10\) spielt dabei keine Rolle, sie hebt sich in der Differenz auf.
Badegäste im Freibad
AFB II–IIIEin Freibad öffnet um 8 Uhr und schließt um 20 Uhr; beim Öffnen ist es leer. Die momentane Änderungsrate der Anzahl der Badegäste wird modellhaft beschrieben durch
\(z(t)=2t^3-36t^2+144t\) mit \(t\) in Stunden nach 8 Uhr, \(0\le t\le12\), und \(z(t)\) in Personen pro Stunde.
Für die Anzahl \(B(t)\) der anwesenden Gäste werden drei Funktionen vorgeschlagen:
\(F_1(t)=\tfrac12t^4-12t^3+72t^2\)
\(F_2(t)=\tfrac12\,(t^2-12t)^2+20\)
\(F_3(t)=\tfrac12t^4-12t^3+144t^2\)
Teilaufgaben a), b) und d) ohne Hilfsmittel; für c) ist der GTR/CAS zugelassen. Insgesamt 15 BE.
- Überprüfen Sie, welche der drei Funktionen \(F_1\), \(F_2\) und \(F_3\) Stammfunktionen von \(z\) sind.4 BE
- Erklären Sie, warum \(F_1\) und \(F_2\) trotz unterschiedlicher Terme beide die Probe bestehen, und entscheiden Sie mit Begründung, welche der beiden die Anzahl der Badegäste beschreibt.3 BE
- Ermitteln Sie die größte Anzahl gleichzeitig anwesender Gäste und den Zeitraum, in dem mehr als \(400\) Gäste im Bad sind.5 BE
- Ein Bademeister sagt um 14 Uhr: „Laut Material 2 ist \(z(6)=0\). Jetzt ist also niemand mehr im Bad.“ Widerlegen Sie diese Aussage.3 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(F_1'(t)=2t^3-36t^2+144t=z(t)\) ✓
\(F_2(t)=\tfrac12\,(t^4-24t^3+144t^2)+20=\tfrac12t^4-12t^3+72t^2+20\), also \(F_2'(t)=2t^3-36t^2+144t=z(t)\) ✓
\(F_3'(t)=2t^3-36t^2+288t\ne z(t)\) ✗ — beim Summanden \(144t^2\) wurde der Faktor nicht durch den neuen Exponenten \(2\) geteilt.
\(F_1\) und \(F_2\) sind Stammfunktionen von \(z\), \(F_3\) nicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(F_2(t)-F_1(t)=20\) für alle \(t\): Die beiden unterscheiden sich nur um eine Konstante. Deren Ableitung ist \(0\), deshalb haben beide dieselbe Ableitung \(z\); die Graphen sind um \(20\) in \(y\)-Richtung verschoben.
Das Bad öffnet leer, also muss \(B(0)=0\) gelten. \(F_1(0)=0\), aber \(F_2(0)=20\). Die Besucherzahl wird daher durch \(B=F_1\) beschrieben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(z(t)=2t\,(t-6)(t-12)\) wechselt bei \(t=6\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\): Bis 14 Uhr nimmt die Zahl der Gäste zu, danach ab. \(B(6)=\tfrac12\cdot1296-12\cdot216+72\cdot36=648-2592+2592=648\).
Um 14 Uhr sind mit \(648\) Gästen die meisten im Bad.
GTR: \(B(t)=400\) liefert im Intervall \([0;12]\) die Lösungen \(t_1\approx3{,}22\) und \(t_2\approx8{,}78\).
Von etwa 11:13 Uhr bis etwa 16:47 Uhr sind mehr als \(400\) Gäste im Bad.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(z\) ist eine Änderungsrate: \(z(6)=0\) bedeutet nur, dass um 14 Uhr gerade genauso viele Gäste kommen wie gehen — die Zahl der Gäste ändert sich in diesem Moment nicht.
Der Bestand ist \(B(6)=648\): Um 14 Uhr sind so viele Gäste im Bad wie nie sonst am Tag. Die Aussage verwechselt Rate und Bestand und ist damit widerlegt.