Rechteckstreifen als Näherung: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Streifen, Stützstellen, Summen

AFB I

Nennen Sie alle Aussagen über Produktsummen, die stimmen. Dabei ist \(A\) der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse über \([a;\,b]\) mit \(f\ge0\).

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Bei fallendem \(f\) liegt am linken Rand der größte Wert jedes Streifens — links ergibt dann die Obersumme. Ohne den Faktor \(\Delta x\) addiert man nur Höhen, keine Rechteckflächen. Und beim Verfeinern schrumpft die Obersumme in Richtung \(A\), sie wächst nicht.

Ansatz: Stelle dir zu jeder Aussage ein Bild mit zwei oder drei Streifen vor.

Weiter: Bei fallendem Graphen: Wo ist in einem Streifen der größte Funktionswert? Beim Verfeinern: Ragen die Rechtecke der Obersumme dann mehr oder weniger über den Graphen hinaus?

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Geben Sie zu jeder Behauptung an, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die Regel „links = Untersumme“ gilt nur für steigende Funktionen. Bei nicht monotonen Funktionen muss man in jedem Streifen einzeln nach dem kleinsten bzw. größten Wert suchen.

Ansatz: Rechne die ersten beiden Aussagen mit kleinen Zahlen nach.

Weiter: Für die letzte Aussage: Skizziere die Normalparabel auf \([-1;\,1]\) mit zwei Streifen. Wo liegt der kleinste Wert im linken Streifen?

A3

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Beschreiben Sie das Verfahren, indem Sie die Fachbegriffe einsetzen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Das Intervall \([a;\,b]\) wird in \(n\) Streifen gleicher \(\Delta x\) geteilt. In jedem Streifen wählt man eine \(x_i\) und ersetzt den Streifen durch ein Rechteck der Höhe \(f(x_i)\). Die Summe aller Rechteckflächen heißt . Liegen alle Rechtecke unter dem Graphen, spricht man von der , ragen alle über den Graphen hinaus, von der

Die Steigung von \(f\) spielt nur indirekt eine Rolle — ihr Vorzeichen entscheidet, ob links oder rechts die Untersumme liefert. Im Verfahren selbst kommt sie nicht vor.

Ansatz: Gehe das Verfahren in Gedanken Schritt für Schritt durch: teilen, auswählen, addieren, einordnen.

Weiter: Die letzten beiden Lücken unterscheiden sich nur darin, ob die Rechtecke unter oder über dem Graphen liegen.

A4

Unter- und Obersumme bei fallendem Graphen

AFB II

Gegeben ist \(f(x)=9-x^2\) auf \([0;\,3]\) mit \(n=3\) Streifen. Berechnen Sie die Funktionswerte an den Streifengrenzen sowie \(U_3\) und \(O_3\).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen.

Größe	Wert
\(f(0)\)
\(f(1)\)
\(f(2)\)
\(f(3)\)
Untersumme \(U_3\)
Obersumme \(O_3\)

\(\Delta x=1\). \(f\) fällt auf \([0;\,3]\), also liefern die linken Stützstellen die Obersumme: \(O_3=9+8+5=22\), die rechten die Untersumme: \(U_3=8+5+0=13\). Der exakte Inhalt \(A=18\) liegt dazwischen. Wer „links = Untersumme“ auswendig gelernt hat, vertauscht hier die beiden Werte.

Ansatz: Berechne \(\Delta x\) und die vier Funktionswerte. Steigt oder fällt \(f\) auf \([0;\,3]\)?

Weiter: Bei fallendem \(f\) ist in jedem Streifen der linke Wert der größte. Mit \(\Delta x=1\) sind die Summen einfach die Summen der passenden Funktionswerte.

A5

Rechenkette: Mittelpunktsumme

AFB II

Für \(f(x)=x^3\) auf \([0;\,2]\) soll mit \(n=4\) Streifen gerechnet werden. Bestimmen Sie Schritt für Schritt die Mittelpunktsumme \(M_4\) und vergleichen Sie mit der Einschachtelung. Brüche wie \(31/4\) sind erlaubt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Streifenbreite \(\Delta x\)
Summe der Funktionswerte an den Streifenmitten
Mittelpunktsumme \(M_4\)
Obersumme \(O_4\)
Abstand \(O_4-U_4\)

Mitten \(0{,}25;\,0{,}75;\,1{,}25;\,1{,}75\) mit \(f\)-Werten \(\tfrac{1}{64},\tfrac{27}{64},\tfrac{125}{64},\tfrac{343}{64}\), Summe \(\tfrac{496}{64}=7{,}75\), also \(M_4=0{,}5\cdot7{,}75=3{,}875\). \(O_4=0{,}5\cdot(0{,}125+1+3{,}375+8)=6{,}25\) und \(O_4-U_4=(f(2)-f(0))\cdot0{,}5=4\) — die Einschachtelung ist noch grob, die Mittelpunktsumme liegt dagegen schon nahe am exakten Wert 4.

Ansatz: \(\Delta x=\tfrac{2-0}{4}\). Die Mitten liegen jeweils \(\tfrac{\Delta x}{2}\) rechts von den linken Rändern.

Weiter: Für \(O_4-U_4\) brauchst du keine zweite Summe: Bei steigendem \(f\) gilt \(O_n-U_n=(f(b)-f(a))\cdot\Delta x\).

A6

Wer ist größer?

AFB II

Für \(f(x)=\sqrt{x}\) auf \([0;\,4]\) sind \(A\) der exakte Flächeninhalt sowie \(U_n\), \(O_n\) die Unter- und Obersummen. Vergleichen Sie die fünf Größen ohne Rechnung und ordnen Sie sie aufsteigend (kleinste oben).

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1\(U_4\)

2\(U_8\)

3\(A\)

4\(O_8\)

5\(O_4\)

Die Einschachtelung \(U_n\le A\le O_n\) gilt für jedes \(n\); beim Verfeinern von 4 auf 8 Streifen rücken beide Summen näher an \(A\): \(U_4\approx4{,}15\), \(U_8\approx4{,}77\), \(A=\tfrac{16}{3}\approx5{,}33\), \(O_8\approx5{,}77\), \(O_4\approx6{,}15\). Häufiger Fehler: \(O_8\) über \(O_4\) stellen, weil „mehr Streifen mehr Fläche“ bedeute.

Ansatz: Welche Größen liegen sicher unter \(A\), welche darüber?

Weiter: Beim Halbieren der Streifen wird jedes Rechteck der Untersumme in zwei Rechtecke zerlegt, die zusammen mindestens so viel Fläche haben. Bei der Obersumme ist es umgekehrt.

A7

Summe und Beschreibung

AFB II

Alle Summen gehören zu einer Funktion \(f\) auf dem Intervall \([0;\,3]\). Ordnen Sie jeder Produktsumme die passende Beschreibung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Der Faktor vor der Klammer verrät \(\Delta x\) und damit \(n=\tfrac{3}{\Delta x}\). Beginnt die Liste bei \(f(0)\), sind es linke Stützstellen; endet sie bei \(f(3)\), rechte; liegen alle Stellen genau zwischen den Streifengrenzen, Mittelpunkte.

Ansatz: Lies zuerst den Faktor vor der Klammer: Er ist die Streifenbreite.

Weiter: Aus \(\Delta x\) folgt \(n\). Dann auf die erste und letzte Stelle in der Klammer achten: \(0\) oder \(3\) dabei?

A8

Linke Stützstellen: unten, oben oder keins von beiden?

AFB IIIMix

Ordnen Sie jede Funktion auf dem angegebenen Intervall ein: Was liefern dort die linken Stützstellen? Nutzen Sie die Ableitung, um die Monotonie zu prüfen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Untersumme

2Obersumme

3weder noch

\((x^2-4x)'=2x-4\ge0\) auf \([2;5]\): steigend. \((x^3-3x)'=3x^2-3\le0\) auf \([-1;1]\): fallend — dieselbe Funktion hat auf \([0;2]\) aber bei \(x=1\) einen Tiefpunkt und ist dort nicht monoton. Ohne Monotonie gibt es keine feste Regel: Man muss in jedem Streifen den kleinsten bzw. größten Wert einzeln suchen.

Ansatz: Bestimme für jede Funktion \(f'(x)\) und das Vorzeichen auf dem ganzen Intervall.

Weiter: Ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) im Inneren bedeutet: nicht monoton, also „weder noch“. Liegt die Nullstelle von \(f'\) genau am Rand (wie bei \(x^2-4x\) auf \([2;5]\)), bleibt \(f\) monoton.

A9

Fehlersuche: Obersumme

AFB III

Tom soll für \(f(x)=16-x^2\) auf \([0;\,4]\) die Obersumme \(O_4\) berechnen und den Flächeninhalt abschätzen. Überprüfen Sie seine Lösung.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Der häufigste Fehler ist Zeile 2 — die Merkregel „links unten, rechts oben“ gilt nur für steigende Funktionen. Zeile 6 ist subtiler: Aus der Einschachtelung folgt nur ein Bereich, kein exakter Wert.

Ansatz: Prüfe zuerst die Monotonie und damit, welche Seite die Obersumme liefert.

Weiter: Rechne die Summe beider Seiten aus und vergleiche. Und: Ist der Mittelwert zweier Schranken automatisch der gesuchte Wert?

A10

Trickaufgabe: Die Formel versagt

AFB IIITrick

Für \(f(x)=x^2\) auf \([-2;\,2]\) mit \(n=4\) Streifen sei \(U_4\) die Summe der Rechtecke mit dem kleinsten und \(O_4\) die mit dem größten Funktionswert in jedem Streifen. Ermitteln Sie \(O_4-U_4\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(\Delta x=1\). Streifen \([-2;-1]\): min 1, max 4; \([-1;0]\): min 0, max 1; \([0;1]\): min 0, max 1; \([1;2]\): min 1, max 4. Also \(U_4=2\), \(O_4=10\) und \(O_4-U_4=8\). Die Formel \(|f(b)-f(a)|\cdot\Delta x\) liefert hier \(|4-4|\cdot1=0\) — sie gilt nur für monotone Funktionen. \(f\) fällt aber erst und steigt dann.

Ansatz: Die Kurzformel für \(O_n-U_n\) setzt Monotonie voraus. Ist \(f\) auf \([-2;\,2]\) monoton?

Weiter: Rechne streifenweise: In \([-2;-1]\) und \([-1;0]\) liegt der größte Wert links, in den beiden rechten Streifen rechts.

Übungen: Rechteckstreifen als Näherung

Übungsaufgaben