Anfahrt eines Regionalzugs
AFB I–IIEin Regionalzug fährt aus einem Bahnhof an. Seine Geschwindigkeit wird in den ersten 60 Sekunden modelliert durch
\(v(t)=-0{,}01\,t^2+1{,}2\,t\) für \(0\le t\le60\) (\(t\) in s, \(v(t)\) in m/s).
Der Fahrtenschreiber speichert nur alle 15 Sekunden einen Wert. Material M1 zeigt den Graphen von \(v\) und vier Rechteckstreifen. Die gesamte Aufgabe 1 ist ohne Hilfsmittel zu bearbeiten.
- Weisen Sie nach, dass \(v\) auf \([0;\,60]\) streng monoton steigend ist. 3 BE
- Berechnen Sie die Untersumme \(U_4\) und die Obersumme \(O_4\) für den Graphen von \(v\) auf \([0;\,60]\). 5 BE
- Interpretieren Sie die Ergebnisse aus b) im Sachzusammenhang. 3 BE
- Bestimmen Sie, wie viele Streifen man mindestens wählen muss, damit sich Ober- und Untersumme um höchstens 10 m unterscheiden. 4 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(v'(t)=-0{,}02\,t+1{,}2\). Für \(0\le t<60\) ist \(0{,}02\,t<1{,}2\), also \(v'(t)>0\); nur am Rand ist \(v'(60)=0\). Damit ist \(v\) auf \([0;\,60]\) streng monoton steigend (eine einzelne Nullstelle der Ableitung am Rand stört nicht).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\Delta t=\tfrac{60}{4}=15\). Werte: \(v(0)=0\), \(v(15)=-2{,}25+18=15{,}75\), \(v(30)=-9+36=27\), \(v(45)=-20{,}25+54=33{,}75\), \(v(60)=-36+72=36\) (in m/s).
\(U_4=15\cdot(0+15{,}75+27+33{,}75)=15\cdot76{,}5=1147{,}5\), \(O_4=15\cdot(15{,}75+27+33{,}75+36)=15\cdot112{,}5=1687{,}5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Jedes Rechteck ist Geschwindigkeit mal Zeit, also ein Weg in Metern. Die Fläche unter dem Graphen von \(v\) ist der in 60 s zurückgelegte Weg. Da \(v\) steigt, gilt \(U_4\le s\le O_4\): Der Zug legt in der ersten Minute mindestens \(1147{,}5\,\text{m}\) und höchstens \(1687{,}5\,\text{m}\) zurück. Die Schätzung mit nur vier Messwerten ist noch sehr ungenau (Spannweite 540 m).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(O_n-U_n=(36-0)\cdot\tfrac{60}{n}=\tfrac{2160}{n}\le10\iff n\ge216\).
Man braucht mindestens 216 Streifen, also einen Messwert alle \(\tfrac{60}{216}\approx0{,}28\) Sekunden. (Kontrolle mit b): \(\tfrac{2160}{4}=540=1687{,}5-1147{,}5\).)
Tagesertrag einer Solaranlage
AFB II–IIIDie Leistung einer Photovoltaikanlage an einem wolkenlosen Tag wird modelliert durch
\(P(t)=0{,}25\,t\,(12-t)\) für \(0\le t\le12\) (\(t\) in Stunden nach 6 Uhr, \(P(t)\) in kW).
Die erzeugte Energie (in kWh) entspricht dem Inhalt der Fläche unter dem Graphen von \(P\). Aus einer späteren Rechnung ist bekannt, dass dieser Inhalt genau \(72\,\text{kWh}\) beträgt. Material M2 zeigt den Graphen von \(P\). Teilaufgabe a) ist ohne Hilfsmittel zu bearbeiten, für b) bis d) ist ein GTR oder CAS zugelassen.
- Erläutern Sie, warum man bei \(P\) auf \([0;\,12]\) nicht einfach die linken Stützstellen für eine Untersumme verwenden kann. 3 BE
- Ermitteln Sie für \(n=6\) Streifen die Untersumme \(U_6\) und die Obersumme \(O_6\), indem Sie in jedem Streifen den kleinsten bzw. größten Funktionswert verwenden. 5 BE
- Vergleichen Sie für \(n=6\) die Summen mit linken Stützstellen, mit rechten Stützstellen und mit den Streifenmitten mit dem Tagesertrag von \(72\,\text{kWh}\). 4 BE
- Der Betreiber liest jede volle Stunde die momentane Leistung ab und rechnet \(E\approx1\,\text{h}\cdot\big(P(0)+P(1)+\ldots+P(11)\big)\). Er meint: „Vormittags ist meine Summe zu klein, nachmittags zu groß — das gleicht sich genau aus, meine Rechnung ist exakt.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage. 5 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
2*sum(seq(0.25*x*(12-x),x,1,11,2)). Achte bei den linken und rechten Stützstellen auf die Symmetrie des Graphen.Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die linken Stützstellen liefern nur dann eine Untersumme, wenn \(f\) steigt — dann ist der linke Randwert der kleinste Wert im Streifen. \(P\) steigt aber nur bis \(t=6\) (Scheitel) und fällt danach. In einem Streifen am Nachmittag, z. B. \([8;\,10]\), ist \(P(8)=8\) der größte Wert: Das linke Rechteck ragt über den Graphen hinaus. Die Linkssumme ist also weder Unter- noch Obersumme.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
| \(t\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P(t)\) | 0 | 5 | 8 | 9 | 8 | 5 | 0 |
Kleinste Werte je Streifen: \(0,\ 5,\ 8,\ 8,\ 5,\ 0\); größte: \(5,\ 8,\ 9,\ 9,\ 8,\ 5\).
\(U_6=2\cdot26=52\,\text{kWh}\), \(O_6=2\cdot44=88\,\text{kWh}\). Der Tagesertrag liegt zwischen 52 und 88 kWh.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Links: \(2\cdot(0+5+8+9+8+5)=70\,\text{kWh}\). Rechts: \(2\cdot(5+8+9+8+5+0)=70\,\text{kWh}\). Mitten: \(P(1)=P(11)=2{,}75\), \(P(3)=P(9)=6{,}75\), \(P(5)=P(7)=8{,}75\), also \(2\cdot36{,}5=73\,\text{kWh}\).
Links- und Rechtssumme stimmen wegen der Symmetrie des Graphen zu \(t=6\) überein und liegen \(2\,\text{kWh}\) (knapp \(3\,\%\)) unter dem Ertrag, die Mittelpunktsumme liegt nur \(1\,\text{kWh}\) darüber. Alle drei liegen deutlich näher an 72 kWh als \(U_6\) und \(O_6\); die Mittelpunktsumme ist am genauesten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Beobachtung stimmt: Vormittags steigt \(P\), die linken Werte sind die kleinsten im Streifen, die Rechtecke liegen unter dem Graphen; nachmittags fällt \(P\), die Rechtecke ragen darüber hinaus.
Die Folgerung stimmt nicht: \(\sum_{k=0}^{11}P(k)=0{,}25\cdot\big(12\cdot66-506\big)=71{,}5\,\text{kWh}\), nicht 72 kWh. Die Fehler gleichen sich nur teilweise aus, weil der Graph gekrümmt ist: Auch die „Dreieckszwickel“ zwischen Rechteck und Kurve sind nicht gleich groß.
Stellungnahme: Die Rechnung ist nicht exakt, aber mit einer Abweichung von \(0{,}5\,\text{kWh}\) (etwa \(0{,}7\,\%\)) für eine Ertragskontrolle sehr brauchbar. Die Aussage „exakt“ ist zurückzuweisen, die Methode als gute Näherung zu bestätigen. Vollständig ist eine Antwort, die Beobachtung und Folgerung getrennt prüft und das Ergebnis rechnerisch belegt.