MINT lernen

Probeklausur

90 Minuten, ein hilfsmittelfreier Teil und ein Teil mit GTR oder CAS — so fühlt sich die Klausur zur Integralrechnung an.

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Bearbeitungszeit90 Minuten
Teil A

Hilfsmittelfreier Teil

24 Punkte

Kein Taschenrechner, keine Formelsammlung. Empfohlene Zeit: etwa 30 Minuten. Brüche dürfen als Bruch eingegeben werden.

A1
Stammfunktionen erkennen
AFB I 4 Punkte

Geben Sie jeweils eine Stammfunktion an (je eine Antwort).

a) \(f(x)=4x^3-6x+2\) 1 P
b) \(f(x)=3\cos(3x)\) 1 P
c) \(f(x)=e^{-2x}\) 1 P
d) \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\) 1 P
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Erwartungshorizont: a) Potenz- und Summenregel: \(x^4-3x^2+2x\) (1 P) b) \(\big(\sin(3x)\big)'=3\cos(3x)\) (1 P) c) durch die innere Ableitung \(-2\) teilen: \(-\tfrac12e^{-2x}\) (1 P) d) \(x^{-2}\to\tfrac{x^{-1}}{-1}=-\tfrac1x\) (1 P). Jeweils Probe durch Ableiten.

A2
Integrale ohne Rechner
AFB I 6 Punkte

Berechnen Sie die Integrale mithilfe des Hauptsatzes.

a) \(\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x)\,\mathrm dx\) 2 P
b) \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm dx\) 2 P
c) \(\displaystyle\int_1^4\Big(x-\frac{1}{x^2}\Big)\,\mathrm dx\) 2 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Erwartungshorizont: a) \(\big[x^3-x^2\big]_0^2=8-4=4\) (2 P) b) \(\big[-\cos x\big]_0^\pi=1-(-1)=2\) (2 P) c) \(\big[\tfrac12x^2+\tfrac1x\big]_1^4=\big(8+\tfrac14\big)-\big(\tfrac12+1\big)=6{,}75\) (2 P).

A3
Pool füllen und abpumpen
AFB II 5 Punkte

Ein Pool enthält zu Beginn \(10\,\mathrm{m^3}\) Wasser. Die Abbildung zeigt die Zuflussrate \(r\).

a) Entnehmen Sie den Zeitpunkt, zu dem am meisten Wasser im Pool ist. 1 P
h
b) Bestimmen Sie die Wassermenge zu diesem Zeitpunkt. 2 P
m³
c) Wie viel Wasser ist nach \(6\) Stunden im Pool? 2 P
m³
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Erwartungshorizont: a) \(r\) wechselt bei \(t=3{,}5\) von \(+\) nach \(-\) (\(3-2(t-2)=0\)) — Maximum (1 P). b) \(10+3\cdot2+\tfrac12\cdot1{,}5\cdot3=10+6+2{,}25=18{,}25\,\mathrm{m^3}\) (2 P). c) \(18{,}25-\tfrac12\cdot1{,}5\cdot3-3\cdot1=18{,}25-2{,}25-3=13\,\mathrm{m^3}\) (2 P).

123456−3−2−11234trr
\(r(t)\) in \(\mathrm{m^3/h}\), \(t\) in h
A4
Integralregeln und Streifensummen
AFB I 4 Punkte

Für eine Funktion \(f\) gilt \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm dx=3\) und \(\displaystyle\int_2^5 f(x)\,\mathrm dx=-4\).

a) Nennen Sie \(\displaystyle\int_0^5 f(x)\,\mathrm dx\) an. 1 P
b) Geben Sie \(\displaystyle\int_5^2 f(x)\,\mathrm dx\) an. 1 P
c) Ordnen Sie der Situation die richtige Aussage zu: \(g\) ist auf \([a;b]\) streng monoton fallend. 2 P
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Erwartungshorizont: a) \(3+(-4)=-1\) (1 P) b) \(\int_5^2 f=-\int_2^5 f=4\) (1 P) c) Bei fallendem \(g\) ist der rechte Funktionswert der kleinste im Streifen, also liefern rechte Stützstellen \(U_n\); \(O_n-U_n=\big(g(a)-g(b)\big)\Delta x\to0\), aber \(U_n<O_n\) für jedes \(n\) (2 P).

A5
Integral null — Fläche nicht
AFB II 5 Punkte

Gegeben ist \(f(x)=x^2-2x\) auf dem Intervall \([0;3]\).

a) Geben Sie die positive Nullstelle von \(f\) an. 1 P
b) Berechnen Sie \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm dx\). 1 P
c) Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse über \([0;3]\). (Brüche wie 8/3 sind erlaubt.) 3 P
FE
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Erwartungshorizont: a) \(x(x-2)=0\Rightarrow x=2\) (1 P) b) \(F(x)=\tfrac13x^3-x^2\), \(F(3)-F(0)=9-9=0\) (1 P) c) \(\int_0^2 f=\tfrac83-4=-\tfrac43\), \(\int_2^3 f=0-\big(-\tfrac43\big)=\tfrac43\) (2 P); \(A=\tfrac43+\tfrac43=\tfrac83\approx2{,}67\,\mathrm{FE}\) (1 P).

Teil B

Mit GTR oder CAS

36 Punkte

Casio fx-CG50 oder TI-Nspire CX CAS erlaubt, Winkelmodus Bogenmaß. Rechenweg notieren: Ansatz, Rechnerbefehl, Ergebnis mit Einheit. Empfohlene Zeit: etwa 60 Minuten.

A6
Kurve und Gerade
AFB II 9 Punkte

Gegeben sind \(f(x)=0{,}5x^3-2x\) und \(g(x)=x\).

a) Lösen Sie die positive Schnittstelle der Graphen (zwei Nachkommastellen). 2 P
b) Berechnen Sie den Inhalt der gesamten von beiden Graphen eingeschlossenen Fläche. 4 P
FE
c) Es gilt \(\int_{-\sqrt6}^{\sqrt6}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm dx=0\). Begründen Sie das. 3 P
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Erwartungshorizont: a) \(0{,}5x^3-2x=x\iff0{,}5x(x^2-6)=0\Rightarrow x=0,\;x=\pm\sqrt6\approx\pm2{,}45\) (2 P). b) Auf \([0;\sqrt6]\) liegt \(g\) oben: \(\int_0^{\sqrt6}(3x-0{,}5x^3)\,\mathrm dx=\big[1{,}5x^2-0{,}125x^4\big]_0^{\sqrt6}=9-4{,}5=4{,}5\); aus Symmetrie gleich große linke Teilfläche, \(A=9\,\mathrm{FE}\) (4 P); GTR: G-Solv → ∫dx → INTSECT. c) \(d(x)=0{,}5x^3-3x\) ist ungerade, die Teilintegrale sind \(+4{,}5\) und \(-4{,}5\) (3 P).

−3−2−1123−3−2−1123xyfg
\(f(x)=0{,}5x^3-2x\) und \(g(x)=x\)
A7
Talsperre im Jahresverlauf
AFB II 14 Punkte

Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens einer Talsperre wird für ein Jahr modelliert durch \(r(t)=2\sin\big(\tfrac{\pi}{6}t\big)+0{,}5\) (\(t\) in Monaten ab Jahresbeginn, \(0\le t\le12\); \(r\) in Mio. m³ pro Monat). Zu Jahresbeginn enthält die Talsperre \(40\) Mio. m³. Rechnen Sie im Bogenmaß und geben Sie Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen an.

a) Bestimmen Sie die Zeitpunkte, zu denen sich das Volumen momentan nicht ändert. 2 P
Monate
Monate
b) Bestimmen Sie das größte Wasservolumen im Jahr. 3 P
Mio. m³
c) Berechnen Sie das Volumen am Jahresende. 2 P
Mio. m³
d) Ermitteln Sie mit dem CAS, wann erstmals \(50\) Mio. m³ erreicht werden. 3 P
Monate
e) Interpretieren Sie den Wert von \(\int_{t_1}^{t_2}r(t)\,\mathrm dt\) und geben Sie ihn an. 2 P
Mio. m³
f) Beurteilen Sie: Wann ist das Volumen im Laufe des Jahres am kleinsten? 2 P
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Erwartungshorizont: a) \(2\sin\big(\tfrac\pi6t\big)+0{,}5=0\): GTR (Graph, G-Solv → ROOT) liefert \(t_1\approx6{,}48\), \(t_2\approx11{,}52\) (2 P). b) Bei \(t_1\) wechselt \(r\) von \(+\) nach \(-\): \(V(t_1)=40+\int_0^{t_1}r(t)\,\mathrm dt\approx50{,}76\) Mio. m³ (3 P). c) \(\int_0^{12}2\sin\big(\tfrac\pi6t\big)\mathrm dt=0\) (volle Periode), also \(V(12)=40+0{,}5\cdot12=46\) Mio. m³ (2 P). d) CAS: solve(40+∫(2·sin(π/6·t)+0.5,t,0,s)=50,s) → \(s\approx5{,}27\); also etwa Anfang Juni (3 P). e) \(\approx-4{,}88\): Zwischen \(t_1\) und \(t_2\) nimmt das Volumen um rund \(4{,}88\) Mio. m³ ab (2 P). f) Lokales Minimum bei \(t_2\) mit \(V\approx45{,}88\), am Rand aber \(V(0)=40\): Das kleinste Volumen liegt zu Jahresbeginn (2 P).

A8
Gesuchte Grenzen
AFB III 7 Punkte

Die Aufgabe verbindet Integrale mit gesuchten Grenzen.

a) Bestimmen Sie mit dem CAS \(a>0\) so, dass \(\displaystyle\int_0^a e^{0{,}5x}\,\mathrm dx=10\) gilt (zwei Nachkommastellen). 3 P
b) Gegeben ist \(I(x)=\displaystyle\int_1^x(3t^2-3)\,\mathrm dt\). Untersuchen Sie die von \(1\) verschiedene Nullstelle von \(I\). 2 P
c) Welche Aussage über \(I\) an der Stelle \(x=1\) ist richtig? Legen Sie. 2 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Erwartungshorizont: a) \(\big[2e^{0{,}5x}\big]_0^a=2e^{0{,}5a}-2=10\Rightarrow e^{0{,}5a}=6\Rightarrow a=2\ln6\approx3{,}58\); CAS: solve(∫(e^(0.5·x),x,0,a)=10,a) (3 P). b) \(I(x)=\big[t^3-3t\big]_1^x=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\), zweite Nullstelle \(x=-2\) (2 P). c) Nach dem Hauptsatz \(I'(x)=3x^2-3\); bei \(x=1\) VZW von \(-\) nach \(+\), und \(I(1)=0\) — doppelte Nullstelle, Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse (2 P).

A9
Radfahrt aus Messwerten
AFB I 6 Punkte

Beim Anfahren wird alle 10 Sekunden die Geschwindigkeit einer Radfahrerin gemessen; \(v\) steigt dabei monoton.

\(t\) in s0102030405060
\(v\) in m/s046,588,58,59
a) Erstellen Sie aus der Tabelle eine Untersumme für die Strecke in den 60 Sekunden. 2 P
m
b) Berechnen Sie die zugehörige Obersumme. 2 P
m
c) Deuten Sie die Ergebnisse. 2 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Erwartungshorizont: a) Linke Werte (kleinster Wert je Intervall): \(10\cdot(0+4+6{,}5+8+8{,}5+8{,}5)=355\,\mathrm m\) (2 P). b) Rechte Werte: \(10\cdot(4+6{,}5+8+8{,}5+8{,}5+9)=445\,\mathrm m\) (2 P). c) Die Strecke ist das Integral von \(v\); bei monotonem \(v\) gilt \(U_6\le s\le O_6\). Ein exakter Wert ist aus sieben Messwerten nicht bestimmbar (2 P).

Ergebnis

Erreicht
0 / 60
Prozent
0 %
Notenpunkte
—
AufgabeThemaPunkte

Punkteverteilung

AufgabeThemaTeilAFBPunkte
A1Stammfunktionen erkennenTeil AAFB I4
A2Integrale ohne RechnerTeil AAFB I6
A3Pool füllen und abpumpenTeil AAFB I/II5
A4Integralregeln und StreifensummenTeil AAFB I/II4
A5Integral null — Fläche nichtTeil AAFB I/II5
A6Kurve und GeradeTeil BAFB I/II/III9
A7Talsperre im JahresverlaufTeil BAFB II/III14
A8Gesuchte GrenzenTeil BAFB II/III7
A9Radfahrt aus MesswertenTeil BAFB I/II6
Summe (AFB I: 21 P · AFB II: 30 P · AFB III: 9 P)60

Notenpunkte

PunkteNotenpunkteBeurteilung
57 – 60 P15sehr gut
54 – 56 P14sehr gut
51 – 53 P13sehr gut
48 – 50 P12gut
45 – 47 P11gut
42 – 44 P10gut
39 – 41 P09befriedigend
36 – 38 P08befriedigend
33 – 35 P07befriedigend
30 – 32 P06ausreichend
27 – 29 P05ausreichend
24 – 26 P04ausreichend
20 – 23 P03mangelhaft
17 – 19 P02mangelhaft
12 – 16 P01mangelhaft
0 – 11 P00ungenügend