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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Wer liegt oben?
AFB IOrdnen Sie jedes Paar \(f\), \(g\) auf dem angegebenen Intervall dem passenden Korb zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f liegt oben
2g liegt oben
3die Rollen wechseln
Entscheidend ist das Vorzeichen von \(d=f-g\), nicht die Lage zur x-Achse. \(\sin x+1\ge0\) berührt bei \(\tfrac{3\pi}{2}\) nur die Null, wechselt aber nicht — \(f\) bleibt oben. Bei \(x^2-1\) und \(x^2+3\) ist \(d=-4\) überall: parallel verschoben, \(g\) liegt immer \(4\) höher. Wechsel: \(x^3-9x\) bei \(x=3\), \(e^x-1\) bei \(x=0\), \(\cos x-0{,}5\) bei \(x=\tfrac{\pi}{3}\).
Ansatz: Bilde jeweils \(d(x)=f(x)-g(x)\) und setze eine Stelle am Rand und eine in der Mitte des Intervalls ein.
Weiter: Hat \(d\) im Inneren des Intervalls eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, wechseln die Rollen. Eine Nullstelle, an der \(d\) nur die x-Achse berührt, zählt nicht.
A2
Welcher Ansatz trifft die Fläche?
AFB IDie Graphen von \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x+2\) schließen eine Fläche ein. Geben Sie alle Ansätze an, die ihren Inhalt richtig liefern.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Schnittstellen sind die Lösungen von \(x^2=x+2\), also \(x=-1\) und \(x=2\); dazwischen liegt \(g\) oben, und \(A=\tfrac92=4{,}5\) FE. Ohne Betrag liefert \(\int(x^2-x-2)\,\mathrm{d}x\) den Wert \(-4{,}5\) — eine Fläche ist nie negativ. Die Grenzen \(0\) und \(-2\) sind Nullstellen von \(f\) bzw. \(g\), aber keine Schnittstellen.
Ansatz: Löse \(x^2=x+2\). Die Lösungen sind die einzig richtigen Grenzen.
Weiter: Setze \(x=0\) ein: \(g(0)=2>0=f(0)\). Welche Reihenfolge der Differenz ergibt also einen positiven Integranden — und was macht der Betrag mit der anderen?
A3
Lückentext: das Verfahren
AFB INennen Sie die fehlenden Fachwörter — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Zuerst bildet man die \(d(x)=f(x)-g(x)\). Ihre Nullstellen sind die der beiden Graphen. Dann integriert man \(d\) jeweils zwischen zwei Schnittstellen. Von jedem Teilintegral nimmt man den , und zum Schluss werden die Teilflächen .
„Nullstellen von f“ bleibt übrig: Wo einer der beiden Graphen die x-Achse schneidet, ändert sich an der eingeschlossenen Fläche nichts. Nur wo \(f\) und \(g\) sich schneiden, kann oben und unten tauschen.
Ansatz: Denke an die Messstrecke zwischen den Graphen: Ihre Länge ist eine Funktion von \(x\) — wie heißt sie?
Weiter: Die Grenzen kommen aus \(f(x)=g(x)\). Über einen Vorzeichenwechsel hinweg würden sich Teilflächen aufheben — deshalb stückweise integrieren und Beträge nehmen.
A4
Zwei Parabeln, halb unter der Achse
AFB IIGegeben sind \(f(x)=x^2-2x\) und \(g(x)=4-x^2\). Bestimmen Sie die Schnittstellen und den Inhalt der eingeschlossenen Fläche.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Brüche wie
7/3 sind erlaubt.| gesucht | Wert |
|---|---|
| \(x_1\) (links) | |
| \(x_2\) (rechts) | |
| \(d(0)=g(0)-f(0)\) | |
| \(A\) in FE |
\(d(x)=g(x)-f(x)=-2x^2+2x+4=-2(x+1)(x-2)\). Stammfunktion \(D(x)=-\tfrac23x^3+x^2+4x\): \(A=D(2)-D(-1)=\tfrac{20}{3}-\left(-\tfrac73\right)=9\). Wer Nullstellen von \(f\) (\(0\) und \(2\)) als Grenzen nimmt, erhält nur \(\tfrac{20}{3}\).
Ansatz: \(x^2-2x=4-x^2\) umstellen zu \(2x^2-2x-4=0\), durch \(2\) teilen, dann pq-Formel.
Weiter: Erst \(d\) zusammenfassen: \(d(x)=-2x^2+2x+4\). Eine Stammfunktion reicht, dann \(D(2)-D(-1)\).
A5
Rechenkette: drei Schnittstellen
AFB IIDie Graphen von \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=x^2+2x\) schließen zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie Schritt für Schritt den Gesamtinhalt. Brüche wie 5/12 sind erlaubt, Dezimalzahlen auf zwei Nachkommastellen.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- kleinste Schnittstelle \(x_1\)
- \(\displaystyle\int_{x_1}^{0}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x\)
- \(\displaystyle\int_{0}^{2}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x\)
- Gesamtinhalt \(A\) FE
\(d(x)=x^3-x^2-2x=x(x+1)(x-2)\), Schnittstellen \(-1\), \(0\), \(2\). Mit \(D(x)=\tfrac14x^4-\tfrac13x^3-x^2\): \(\tfrac{5}{12}\) und \(-\tfrac83\), also \(A=\tfrac{5}{12}+\tfrac{8}{3}=\tfrac{37}{12}\approx3{,}08\) FE. Das Integral von \(-1\) bis \(2\) in einem Zug ergäbe \(-\tfrac94\) — die beiden Stücke sind verschieden groß und heben sich nur teilweise auf.
Ansatz: \(x^3-x^2-2x=0\): \(x\) ausklammern, dann bleibt eine quadratische Gleichung.
Weiter: \(D(0)=0\), also ist \(\int_{-1}^{0}d\,\mathrm{d}x=-D(-1)\) und \(\int_{0}^{2}d\,\mathrm{d}x=D(2)\). Zum Schluss: Betrag des negativen Werts nehmen.
A6
Ablaufplan für jede Flächenaufgabe
AFB IIErstellen Sie aus den Karten einen Ablaufplan für die Fläche zwischen zwei Graphen ohne vorgegebenes Intervall.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(d(x)=f(x)-g(x)\) bilden und zusammenfassen
2\(d(x)=0\) lösen — die Schnittstellen der Größe nach ordnen
3eine Stammfunktion \(D\) von \(d\) bestimmen
4Teilintegrale zwischen benachbarten Schnittstellen berechnen
5Beträge addieren, Ergebnis in FE (im Sachkontext mit Einheit) angeben
Am häufigsten verrutscht Schritt 1: Wer \(f\) und \(g\) getrennt integriert, braucht zwei Stammfunktionen und muss an jeder Schnittstelle neu überlegen, wer oben liegt. Mit \(d\) genügt eine — und die Schnittstellen fallen als Nullstellen von \(d\) gleich mit ab.
Ansatz: Ohne Grenzen kann man nicht integrieren — und die Grenzen findet man mit \(d\).
Weiter: Die Beträge gehören ganz ans Ende: erst jedes Teilintegral ausrechnen, dann Betrag, dann addieren.
A7
Fünf Flächen, fünf Werte
AFB IIMixErmitteln Sie jeweils den Inhalt der Fläche, die die beiden Graphen einschließen, und verbinden Sie das Paar mit seinem Wert (in FE).
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Alles läuft über die Potenzregel aus 2.2.2: \(\int x^r\,\mathrm{d}x=\tfrac{x^{r+1}}{r+1}\). Zum Beispiel \(\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,\mathrm{d}x=4-\tfrac43=\tfrac83\). Bei \(x^3\) und \(x^2\) liegt auf \([0;1]\) die Parabel oben: \(\tfrac13-\tfrac14=\tfrac1{12}\). Wer \(4\) und \(x^2\) nur von \(0\) bis \(2\) integriert, erhält die Hälfte, \(\tfrac{16}3\).
Ansatz: Schnittstellen zuerst: \(x^2=x\) hat \(0\) und \(1\), \(x^2=4\) hat \(\pm2\), \(x^2=2-x^2\) hat \(\pm1\).
Weiter: Überschlag hilft: Die Fläche zwischen \(x^2\) und \(4\) passt in ein Rechteck \(4\times4\) und ist davon etwa zwei Drittel — sie muss der größte Wert sein.
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIIGesucht ist die Fläche zwischen \(f(x)=x^3-3x\) und \(g(x)=x\). Überprüfen Sie die sechs Zeilen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 5 ist ein reiner Vorzeichenfehler — „minus minus“ beim Einsetzen der unteren Grenze. Am häufigsten in Klausuren ist aber Zeile 2: Die Nullstellen von \(f\) haben mit der Fläche zwischen \(f\) und \(g\) nichts zu tun.
Ansatz: Rechne selbst mit: \(x^3-4x=x(x-2)(x+2)\). Welche Grenzen folgen daraus?
Weiter: \(D(-2)=\tfrac14\cdot16-2\cdot4=-4\). Setze in Zeile 5 sorgfältig ein — und frage dich bei Zeile 4, was ein Integral von \(0\) über die Fläche verrät.
A9
Trickaufgabe: zwei Ungetüme
AFB IIITrickGegeben sind \(f(x)=0{,}5x^4-3x^3+2x+7\) und \(g(x)=0{,}5x^4-3x^3+2x+2\). Untersuchen Sie, wie groß die Fläche zwischen den Graphen über dem Intervall \([-1;3]\) ist.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(d(x)=f(x)-g(x)=5\) — alle anderen Summanden heben sich weg. Der Graph von \(f\) ist der von \(g\), um \(5\) nach oben verschoben; die Fläche ist ein „verbogenes Rechteck“ mit Breite \(4\) und überall Höhe \(5\): \(A=5\cdot4=20\) FE. Wer \(f\) und \(g\) einzeln integriert, rechnet sich durch zwei Polynome vierten Grades und landet am Ende beim selben Ergebnis.
Ansatz: Nicht gleich integrieren — erst \(d(x)=f(x)-g(x)\) aufschreiben.
Weiter: \(d\) ist konstant. Wie groß ist die Fläche unter einer waagerechten Geraden der Höhe \(5\) über einem Intervall der Länge \(4\)?
A10
Was passiert mit der Fläche?
AFB IIIDie Parabel \(y=x^2\) und die Gerade \(y=4\) schließen \(\tfrac{32}{3}\approx10{,}7\) FE ein. Schätzen Sie für jede Änderung ab, wie sich die eingeschlossene Fläche verändert — ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel kleiner, 2 = etwas kleiner, 3 = bleibt gleich, 4 = etwas größer, 5 = viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viel kleiner5 = viel größer
beide Graphen um \(3\) nach oben: \(y=x^2+3\) und \(y=7\)
Gerade \(y=9\) statt \(y=4\)
steilere Parabel \(y=2x^2\), Gerade bleibt \(y=4\)
nur die Parabel um \(3\) nach oben: \(y=x^2+3\), Gerade bleibt \(y=4\)
Gerade \(y=5\) statt \(y=4\)
Gemeinsam verschieben ändert \(d\) nicht: gleiche Fläche. Nur die Parabel anheben lässt \(d=1-x^2\) übrig: \(\tfrac43\), ein Achtel. \(y=9\): Die Breite wächst von \(4\) auf \(6\), die Höhe von \(4\) auf \(9\) — zusammen \(36\) FE, mehr als das Dreifache. \(y=5\): etwa \(14{,}9\) FE. \(y=2x^2\): Schnitt bei \(\pm\sqrt2\), etwa \(7{,}5\) FE.
Ansatz: Schau jeweils auf \(d(x)=\text{Gerade}-\text{Parabel}\) — bleibt \(d\) gleich, bleibt die Fläche gleich.
Weiter: Die Fläche ist etwa zwei Drittel des Rechtecks „Breite zwischen den Schnittstellen mal Höhe der Geraden über dem Scheitel“. Wie ändern sich Breite und Höhe?