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Abituraufgaben: Fläche zwischen zwei Graphen

Ein Silberanhänger und ein Lärmschutzwall — zwei Abituraufgaben, in denen die Fläche zwischen zwei Kurven etwas wiegt und etwas kostet.

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Ein Anhänger aus zwei Blättern

AFB I–II

Eine Schmuckdesignerin entwirft einen Anhänger aus Silberblech. Seine Form wird in einem Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) durch die beiden Flächenstücke beschrieben, die die Graphen der Funktionen

\(f(x)=x^3-6x^2+9x\) und \(g(x)=x\)

für \(0\le x\le4\) einschließen (Material). Das Silberblech ist \(1\,\text{mm}\) dick, Silber hat die Dichte \(10{,}5\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\).

Material: Entwurf des Anhängers
123451234x in cmy in cmfgÖse
Die beiden gefärbten Flächenstücke bilden die Blätter des Anhängers.
  1. hilfsmittelfrei Weisen Sie nach, dass sich die Graphen von \(f\) und \(g\) genau an den Stellen \(x=0\), \(x=2\) und \(x=4\) schneiden. 3 BE
  2. hilfsmittelfrei Berechnen Sie den Flächeninhalt des linken Blattes (\(0\le x\le2\)). 4 BE
  3. hilfsmittelfrei Ein Mitschüler rechnet \(\int_0^4\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x=0\) und folgert, der Anhänger habe gar keine Fläche. Erläutern Sie seinen Denkfehler und geben Sie den Flächeninhalt des ganzen Anhängers an. 3 BE
  4. Bestimmen Sie die Masse des Anhängers. Die Öse bleibt unberücksichtigt. 3 BE

Insgesamt 13 BE

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \(f(x)=g(x)\), bringe alles auf eine Seite und klammere \(x\) aus.Nachweisen heißt: zeigen, dass es genau diese drei Stellen sind — nicht nur, dass sie passen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welcher Graph liegt auf \([0;2]\) oben? Teste \(x=1\). Dann \(\int_0^2 d(x)\,\mathrm{d}x\) mit \(d=f-g\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Zeichne in Gedanken \(d=f-g\): Wo ist \(d\) positiv, wo negativ? Was passiert mit den beiden Teilintegralen, wenn man sie addiert?
Hinweis zu Aufgabe d)
Masse = Dichte · Volumen, Volumen = Grundfläche · Dicke. Achte auf die Einheit der Dicke.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=g(x)\iff x^3-6x^2+8x=0\iff x\,(x^2-6x+8)=0\).

\(x=0\) oder \(x^2-6x+8=0\); pq-Formel: \(x=3\pm\sqrt{9-8}\), also \(x=2\) oder \(x=4\). Eine Gleichung dritten Grades hat höchstens drei Lösungen — es gibt also genau diese drei Schnittstellen. Probe: \(f(2)=2=g(2)\), \(f(4)=4=g(4)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Auf \([0;2]\) liegt \(f\) oben, z. B. \(f(1)=4>1=g(1)\). Mit \(d(x)=x^3-6x^2+8x\) und \(D(x)=\tfrac14x^4-2x^3+4x^2\):

\(A_1=\displaystyle\int_0^2 d(x)\,\mathrm{d}x=D(2)-D(0)=4-16+16=4\).

Das linke Blatt hat einen Flächeninhalt von \(4\,\text{cm}^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Auf \([2;4]\) liegt \(g\) oben, dort ist \(d(x)<0\): \(\int_2^4 d(x)\,\mathrm{d}x=D(4)-D(2)=0-4=-4\). Das Integral über \([0;4]\) addiert \(4\) und \(-4\) — die Teilflächen heben sich als orientierte Flächen auf, obwohl beide Blätter vorhanden sind.

Richtig ist, an der Schnittstelle \(x=2\) zu trennen und Beträge zu addieren: \(A=|4|+|-4|=8\,\text{cm}^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(V=A\cdot h=8\,\text{cm}^2\cdot0{,}1\,\text{cm}=0{,}8\,\text{cm}^3\).

\(m=\varrho\cdot V=10{,}5\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot0{,}8\,\text{cm}^3=8{,}4\,\text{g}\).

Der Anhänger wiegt etwa \(8{,}4\) g. Häufiger Fehler: Dicke \(1\) statt \(0{,}1\) cm — dann käme das Zehnfache heraus.

2

Ein Lärmschutzwall am Radweg

AFB II–III

Neben einem Radweg soll auf einer Länge von \(250\,\text{m}\) ein Lärmschutzwall aufgeschüttet werden. Das Material zeigt einen Querschnitt senkrecht zum Radweg; \(x=0\) ist der Rand des Radwegs, alle Angaben in Metern.

Das Gelände steigt gleichmäßig an und wird beschrieben durch \(g(x)=0{,}1x\). Die Oberkante des geplanten Walls wird modelliert durch

\(f(x)=-0{,}1x^2+1{,}3x-0{,}3\).

Der Wall liegt zwischen den beiden Stellen, an denen seine Oberkante auf das Gelände trifft. Für die Aufschüttung stehen aus einer benachbarten Baugrube \(6000\,\text{m}^3\) Erde zur Verfügung.

Material: Querschnitt von Gelände und Wall
123424681012x in my in mRadwegWall fGelände g
Querschnitt senkrecht zum Radweg; Längen in Metern, Achsen nicht im gleichen Maßstab.
  1. GTR/CAS Ermitteln Sie die Stellen, an denen der Wall auf das Gelände trifft, sowie die größte Höhe des Walls senkrecht über dem Gelände. 5 BE
  2. GTR/CAS Untersuchen Sie, ob die Erde aus der Baugrube für den Wall ausreicht. 4 BE
  3. Ein Planer berechnet stattdessen \(\int_{0{,}26}^{11{,}74} f(x)\,\mathrm{d}x\approx32{,}2\). Interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang und geben Sie an, welche Folge seine Rechnung für die Planung hätte. 4 BE
  4. Anwohner fordern einen um \(1\,\text{m}\) höheren Wall, also \(f(x)+1\) als neue Oberkante. Der Bauleiter meint: „Das kostet nur etwa \(1\,\text{m}\cdot11{,}5\,\text{m}\cdot250\,\text{m}\approx2900\,\text{m}^3\) Erde zusätzlich.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage. 5 BE

Insgesamt 18 BE

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Stellen sind Lösungen von \(f(x)=g(x)\). Für die Höhe über dem Gelände betrachte \(d(x)=f(x)-g(x)\) — ihr Maximum findest du wie in Kapitel 1 über \(d'(x)=0\) oder am GTR. Casio fx-CG50 im Graph-Menü: SHIFT F5 (G-Solv) F5 (ISCT) für Schnittpunkte, F2 (MAX) für das Maximum. TI-Nspire CX CAS: solve(f(x)=g(x),x).Ermitteln lässt den Weg offen — rechnerisch oder mit dem Rechner, das Ergebnis muss aber begründet dastehen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Querschnittsfläche = Fläche zwischen \(f\) und \(g\) zwischen den Stellen aus a). Volumen = Querschnitt mal Länge.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Fläche liefert \(\int f(x)\,\mathrm{d}x\) — bis zu welcher unteren Begrenzung? Vergleiche mit der Fläche aus b) und überlege, was im Unterschied steckt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Kriterien: Wie viel Erde braucht der höhere Wall wirklich (neue Schnittstellen!)? Wie gut ist die Schätzung des Bauleiters, und warum weicht sie ab? Wo trifft der höhere Wall auf das Gelände — gibt es ein neues Problem?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=g(x)\iff-0{,}1x^2+1{,}2x-0{,}3=0\iff x^2-12x+3=0\), also \(x=6\pm\sqrt{33}\): \(x_1\approx0{,}26\) und \(x_2\approx11{,}74\). Der Wall beginnt \(0{,}26\,\text{m}\) neben dem Radweg und ist am Boden etwa \(11{,}5\,\text{m}\) breit.

Höhe über dem Gelände: \(d(x)=-0{,}1x^2+1{,}2x-0{,}3\), \(d'(x)=-0{,}2x+1{,}2=0\Rightarrow x=6\), \(d(6)=3{,}3\). Da \(d\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist das das Maximum: Der Wall ist an der Stelle \(x=6\) höchstens \(3{,}3\,\text{m}\) hoch.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(A=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x\approx25{,}28\,\text{m}^2\) (GTR; exakt \(\tfrac{22\sqrt{33}}{5}\)).

\(V=A\cdot250\,\text{m}\approx6319\,\text{m}^3\).

Die \(6000\,\text{m}^3\) aus der Baugrube reichen nicht; es fehlen etwa \(320\,\text{m}^3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\int_{0{,}26}^{11{,}74}f(x)\,\mathrm{d}x\approx32{,}2\) ist die Fläche zwischen der Oberkante des Walls und der Höhe \(y=0\), also dem Niveau des Radwegs — in \(\text{m}^2\).

Darin steckt zusätzlich der Geländekeil unter dem Wall, \(\int_{0{,}26}^{11{,}74}g(x)\,\mathrm{d}x\approx6{,}9\,\text{m}^2\), der gar nicht aufgeschüttet werden muss. Der Planer würde den Bedarf um etwa \(6{,}9\cdot250\approx1720\,\text{m}^3\) (rund \(27\,\%\)) überschätzen und zu viel Erde bestellen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Neue Oberkante \(f(x)+1\): \(-0{,}1x^2+1{,}2x+0{,}7=0\iff x^2-12x-7=0\), also \(x=6\pm\sqrt{43}\): \(x\approx-0{,}56\) und \(x\approx12{,}56\). Neue Querschnittsfläche \(\approx37{,}60\,\text{m}^2\), Mehrbedarf \(\approx12{,}32\,\text{m}^2\cdot250\,\text{m}\approx3080\,\text{m}^3\).

Die Schätzung des Bauleiters (\(\approx2870\,\text{m}^3\) mit der Breite \(11{,}49\,\text{m}\)) ist in der Größenordnung richtig, aber etwa \(7\,\%\) zu niedrig: Sie rechnet nur einen „Streifen“ von \(1\,\text{m}\) Höhe über der alten Basis. Weil die Parabel nach oben verschoben wird, trifft sie das Gelände weiter außen — der Wall wird auch breiter.

Außerdem liegt die neue linke Stelle bei \(x\approx-0{,}56\), also auf dem Radweg: Ohne Änderung der Form ist der höhere Wall so nicht baubar. Vollständig ist eine Stellungnahme, die Rechnung, Begründung der Abweichung und diese Folge für die Planung verbindet.