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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Wann ist das Integral schon die Fläche?
AFB IGeben Sie alle Fälle an, in denen der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse gleich dem Integral \(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) ist.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Gleichheit gilt nur, wenn \(f(x)\ge0\) auf dem ganzen Intervall ist. Bei \(x^3\) heben sich die Teilflächen auf (Integral 0, Fläche \(\tfrac12\)); \(\sin x\) auf \([\pi;2\pi]\) und \(x-3\) auf \([0;2]\) liegen ganz unter der x-Achse — dort ist das Integral negativ (\(-2\) bzw. \(-4\)).
Ansatz: Prüfe für jede Zeile: Liegt der Graph im ganzen Intervall über der x-Achse?
Weiter: \(e^x\) ist immer positiv; \(\cos x\ge0\) für \(0\le x\le\tfrac\pi2\); \(x-3<0\) für \(x<3\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IBeurteilen Sie fünf Aussagen über Integral und Flächeninhalt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Integral = Bilanz mit Vorzeichen, Fläche = Summe der Beträge. Eine Skizze zeigt sofort, welches von beiden gefragt ist.
Ansatz: Denke bei jeder Aussage an eine konkrete Skizze: Wo liegt der Graph, welches Vorzeichen hat das Integral?
Weiter: Doppelte Nullstelle wie bei \((x-1)^2\): Der Graph berührt die x-Achse nur.
A3
Das Verfahren in der richtigen Reihenfolge
AFB IGesucht ist der Flächeninhalt zwischen \(f(x)=x^3-4x\) und der x-Achse über \([-1;3]\). Stellen Sie das Verfahren in der richtigen Reihenfolge dar.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Nullstellen berechnen: \(x(x^2-4)=0\Rightarrow x\in\{-2;0;2\}\)
2Nur Nullstellen im Intervall behalten: \(0\) und \(2\)
3Teilintervalle bilden: \([-1;0]\), \([0;2]\), \([2;3]\)
4Stammfunktion \(F(x)=\tfrac14x^4-2x^2\) bilden und die drei Teilintegrale berechnen
5Beträge der Teilintegrale addieren
Der häufigste Stolperstein ist Schritt 2: \(-2\) ist zwar Nullstelle, liegt aber außerhalb von \([-1;3]\) und spielt keine Rolle.
Ansatz: Ohne Nullstellen kennt man die Teilintervalle nicht.
Weiter: Beträge nimmt man erst ganz am Ende — von jedem Teilintegral einzeln.
A4
Rechenkette: drei Teilflächen
AFB IIFortsetzung von A3: \(f(x)=x^3-4x\) über \([-1;3]\). Berechnen Sie die Teilintegrale und den Flächeninhalt.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- \(\int_{-1}^{0}f(x)\,\mathrm dx\)
- \(\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm dx\)
- \(\int_{2}^{3}f(x)\,\mathrm dx\)
- Flächeninhalt \(A\) FE
\(F(-1)=\tfrac14-2=-\tfrac74\), \(F(0)=0\), \(F(2)=4-8=-4\), \(F(3)=\tfrac{81}4-18=\tfrac94\). \(A=\tfrac74+4+\tfrac{25}4=12\). Das Integral über \([-1;3]\) wäre nur \(4\) — die mittlere Teilfläche wird dort abgezogen statt addiert: \(4=12-2\cdot4\).
Ansatz: \(F(x)=\tfrac14x^4-2x^2\). Berechne \(F(-1)\), \(F(0)\), \(F(2)\), \(F(3)\) einmal und verwende sie mehrfach.
Weiter: Das mittlere Teilintegral muss negativ sein — der Graph liegt dort unter der x-Achse. Brüche wie
7/4 sind erlaubt.A5
Wie oft muss man teilen?
AFB IIWie viele Teilintegrale braucht man mindestens, um die Fläche zwischen Graph und x-Achse zu berechnen? Ordnen Sie jede Karte ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
11 Teilintegral
22 Teilintegrale
33 Teilintegrale
Es zählen nur Nullstellen mit Vorzeichenwechsel im Inneren des Intervalls. Liegen sie am Rand (\(x^2-1\) auf \([-1;1]\)) oder berührt der Graph die Achse nur (\((x-1)^2\)), muss man nicht teilen. Bei \(4-x^2\) auf \([-3;0]\) zählt nur \(-2\); die Nullstelle \(+2\) liegt außerhalb.
Ansatz: Bestimme die Nullstellen und streiche die, die außerhalb oder genau auf dem Rand liegen.
Weiter: Doppelte Nullstelle, z. B. bei \((x-1)^2\): kein Vorzeichenwechsel — die Fläche bleibt auf einer Seite der x-Achse.
A6
Funktion und Flächeninhalt
AFB IIOrdnen Sie jeder Aufgabe den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse zu. „Eingeschlossen“ heißt: zwischen den äußeren Nullstellen.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei \(x^2-9\) sind die Grenzen \(\pm3\): \(\big|\big[\tfrac13x^3-9x\big]_{-3}^{3}\big|=|-36|=36\). Bei \(\cos x\) und \(x^3\) ist das Integral über das ganze Intervall 0 — die Fläche entsteht erst durch Teilen an \(\tfrac\pi2\) bzw. 0: \(2\cdot1=2\) und \(2\cdot4=8\).
Ansatz: Nullstellen: \(x^2-9\): \(\pm3\); \(2x-x^2=x(2-x)\): 0 und 2; \(3-3x^2\): \(\pm1\).
Weiter: Symmetrie spart Arbeit: Die Fläche bei \(x^3\) über \([-2;2]\) ist \(2\int_0^2x^3\,\mathrm dx\).
A7
Integral und Fläche im Vergleich
AFB IIMixVergleichen Sie Integral und Flächeninhalt: Tragen Sie beide Werte ein (auf zwei Nachkommastellen, wo nötig).
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| Funktion und Intervall | Integral | Flächeninhalt |
|---|---|---|
| \(2\sin(2x)\) über \([0;\pi]\) | ||
| \(e^x-e\) über \([0;2]\) | ||
| \(\cos(\pi x)\) über \([0;1]\) |
Alle drei brauchen die \(\tfrac1a\)-Regel aus 2.2.3: \(2\sin(2x)\to-\cos(2x)\), \(\cos(\pi x)\to\tfrac1\pi\sin(\pi x)\). Bei \(e^x-e\) liegt die Nullstelle bei \(x=1\): \(\int_0^1=-1\), \(\int_1^2=e^2-2e\approx1{,}95\). Integral \(\approx0{,}95\), Fläche \(\approx2{,}95\) — der Unterschied ist genau \(2\cdot1\).
Ansatz: Nullstellen: \(\sin(2x)=0\) bei \(x=\tfrac\pi2\); \(e^x=e\) bei \(x=1\); \(\cos(\pi x)=0\) bei \(x=\tfrac12\).
Weiter: Stammfunktionen: \(-\cos(2x)\), \(e^x-e\,x\), \(\tfrac1\pi\sin(\pi x)\).
A8
Fehlersuche in Toms Lösung
AFB IIITom bestimmt den Flächeninhalt zwischen \(f(x)=x^2-x-2\) und der x-Achse über \([0;3]\). Drei seiner sechs Sätze sind falsch. Überprüfen Sie jeden Satz.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Satz 5 ist der teuerste Fehler: Der Betrag der Summe ist nicht die Summe der Beträge. Wer so rechnet, erhält nur die Flächenbilanz \(\tfrac32\).
Ansatz: Prüfe zuerst, welche Nullstellen im Intervall liegen, und rechne die beiden Teilintegrale mit \(F(x)=\tfrac13x^3-\tfrac12x^2-2x\) nach.
Weiter: \(\lvert a+b\rvert\) und \(\lvert a\rvert+\lvert b\rvert\) sind verschieden, sobald \(a\) und \(b\) verschiedene Vorzeichen haben.
A9
Trickaufgabe: Wann wird das Integral null?
AFB IIITrickErmitteln Sie die Zahl \(b>0\), für die \(\int_0^b(x^2-4x)\,\mathrm dx=0\) gilt.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\big[\tfrac13x^3-2x^2\big]_0^b=\tfrac13b^3-2b^2=b^2\big(\tfrac b3-2\big)=0\Rightarrow b=6\). Die Nullstelle \(b=4\) ist die Falle: Dort ist das Integral \(-\tfrac{32}3\), nicht 0. Bei \(b=6\) gleicht die Fläche über \([4;6]\) die unter \([0;4]\) genau aus — eingeschlossen sind trotzdem \(\tfrac{64}3\) Flächeneinheiten.
Ansatz: Stelle das Integral als Term in \(b\) auf und setze ihn gleich 0.
Weiter: Klammere \(b^2\) aus. Ist \(b=4\) wirklich eine Lösung? Setze ein.
A10
Entscheidungsbaum: teilen oder nicht?
AFB IIIGesucht ist der Flächeninhalt zwischen \(f(x)=x^3-3x^2\) und der x-Achse über \([-1;2]\). Entscheiden Sie mit dem Baum, wie gerechnet werden muss.
Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
\(f(x)=x^2(x-3)\): Die doppelte Nullstelle 0 liegt im Intervall, wechselt aber nicht das Vorzeichen; 3 liegt außerhalb. Auf \([-1;2]\) gilt \(f(x)\le0\), also \(A=-\big[\tfrac14x^4-x^3\big]_{-1}^{2}=-\big(-4-\tfrac54\big)=\tfrac{21}4\). Teilen bei 0 wäre nicht falsch, aber unnötig.
Ansatz: Klammere aus: \(x^3-3x^2=x^2(x-3)\).
Weiter: \(x^2\ge0\) und \(x-3<0\) für alle \(x\) im Intervall — welches Vorzeichen hat das Produkt?