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Abituraufgaben: Fläche bis zur x-Achse

Ein Graben, der seinen eigenen Wall aufschüttet, und eine Hausbatterie, die mehr abgibt, als sie lädt.

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Entwässerungsgraben

AFB I–II

Am Rand eines Sportplatzes wird ein \(50\,\mathrm m\) langer Entwässerungsgraben ausgehoben. Die Erde wird direkt daneben zu einem Wall aufgeschüttet. Das Querschnittsprofil von Graben und Wall wird beschrieben durch

\(f(x)=\tfrac14x^2-x,\quad0\le x\le6,\)

mit \(x\) und \(f(x)\) in Metern; die x-Achse entspricht dem ursprünglichen Geländeniveau (Material M1).

M1 Querschnitt von Graben und Wall
123456−1123x in my in mGrabenWallf
Blau: Grabenquerschnitt unter dem Gelände. Orange: aufgeschütteter Wall.
  1. Geben Sie die Breite und die größte Tiefe des Grabens an. 2 BE
  2. ohne HilfsmittelBestimmen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Grabens. 4 BE
  3. Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Erde beim Ausheben des Grabens bewegt werden. 2 BE
  4. ohne HilfsmittelEs gilt \(\int_0^6 f(x)\,\mathrm dx=0\). Interpretieren Sie diese Gleichung im Sachzusammenhang. 4 BE

Insgesamt 12 BE.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nullstellen des Profils und Scheitelpunkt der Parabel.„Angeben“: Die Werte genügen; eine kurze Rechnung oder das Ablesen aus M1 reicht als Beleg.
Hinweis zu Aufgabe b)
Liegt die Grabenfläche über oder unter der x-Achse? Welches Vorzeichen hat also das Integral von 0 bis 4?
Hinweis zu Aufgabe c)
Der Graben ist ein Prisma: Querschnittsfläche mal Länge.
Hinweis zu Aufgabe d)
Zerlege das Integral bei \(x=4\) und überlege, was die beiden Teile im Gelände bedeuten.„Interpretieren“: die mathematische Aussage in Worten auf Graben und Wall beziehen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=\tfrac14x(x-4)=0\Rightarrow x=0\) oder \(x=4\): Der Graben ist \(4\,\mathrm m\) breit.

Scheitel in der Mitte bei \(x=2\): \(f(2)=1-2=-1\). Der Graben ist an der tiefsten Stelle \(1\,\mathrm m\) tief.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Auf \([0;4]\) gilt \(f(x)\le0\), eine Teilung ist nicht nötig.

\(\int_0^4 f(x)\,\mathrm dx=\big[\tfrac1{12}x^3-\tfrac12x^2\big]_0^4=\tfrac{64}{12}-8=-\tfrac83\).

\(A=\big|-\tfrac83\big|=\tfrac83\approx2{,}67\,\mathrm{m^2}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(V=\tfrac83\,\mathrm{m^2}\cdot50\,\mathrm m=\tfrac{400}3\,\mathrm{m^3}\approx133\,\mathrm{m^3}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\int_0^6 f(x)\,\mathrm dx=\int_0^4 f(x)\,\mathrm dx+\int_4^6 f(x)\,\mathrm dx=-\tfrac83+\tfrac83=0\), denn \(\int_4^6 f(x)\,\mathrm dx=0-\big(-\tfrac83\big)=\tfrac83\).

Die Querschnittsfläche des Walls über dem Gelände ist genauso groß wie die des Grabens darunter: Die gesamte ausgehobene Erde steckt im Wall, es muss nichts abgefahren oder angeliefert werden (Auflockerung der Erde vernachlässigt). Die Gleichung ist eine Bilanz, kein Flächeninhalt — Graben und Wall zusammen haben einen Querschnitt von \(\tfrac{16}3\,\mathrm{m^2}\).

2

Hausbatterie

AFB II–III

Eine Photovoltaikanlage lädt tagsüber eine Hausbatterie; abends und nachts versorgt die Batterie das Haus. Die Ladeleistung der Batterie wird modellhaft beschrieben durch

\(P(t)=3\sin\!\Big(\dfrac{\pi}{12}\,t\Big)-0{,}5,\quad0\le t\le24,\)

mit \(t\) in Stunden nach 6:00 Uhr und \(P(t)\) in kW. Positive Werte bedeuten Laden, negative Entladen (Material M1). Die nutzbare Kapazität der Batterie beträgt \(20\,\mathrm{kWh}\).

M1 Ladeleistung der Hausbatterie über einen Tag
4812162024−3−2−1123t in hP(t) in kWLadenEntladen
Grün: Die Batterie wird geladen. Rot: Die Batterie gibt Energie an das Haus ab.
  1. GTR/CASErmitteln Sie die Uhrzeiten, zu denen die Batterie vom Entladen zum Laden bzw. vom Laden zum Entladen wechselt. 3 BE
  2. ohne HilfsmittelZeigen Sie, dass \(\int_0^{24}P(t)\,\mathrm dt=-12\) gilt. 4 BE
  3. GTR/CASUntersuchen Sie, wie viel Energie im Laufe des Tages in die Batterie geladen und wie viel ihr entnommen wird. 4 BE
  4. Beurteilen Sie, ob eine Batterie mit \(20\,\mathrm{kWh}\) für dieses Tagesprofil geeignet ist. 3 BE

Insgesamt 14 BE.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Löse \(P(t)=0\) in \([0;24]\), GTR im Modus RAD. Casio fx-CG50: Graph zeichnen, SHIFT F5 (G-Solv), F1 (ROOT). Umrechnung: \(0{,}1\,\mathrm h=6\,\mathrm{min}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Stammfunktion mit der \(\tfrac1a\)-Regel: \(3\sin\big(\tfrac\pi{12}t\big)\to-\tfrac{36}\pi\cos\big(\tfrac\pi{12}t\big)\). Und \(\cos(2\pi)=\cos0=1\).„Zeigen“: Die Rechnung muss ohne Rechner vollständig nachvollziehbar sein.
Hinweis zu Aufgabe c)
Teile an den Nullstellen aus a). Geladen wird zwischen den Nullstellen, entladen davor und danach. fx-CG50: SHIFT F5 (G-Solv), F6 (▷), F3 (∫dx), F1, untere und obere Grenze je mit EXE. Kontrolle mit b).
Hinweis zu Aufgabe d)
Kriterien: Passt die geladene Energie in die Batterie? Reicht der Inhalt für die Entnahme am Abend und in der Nacht? Was bedeutet das Ergebnis aus b) für mehrere Tage hintereinander?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(t)=0\Leftrightarrow\sin\big(\tfrac\pi{12}t\big)=\tfrac16\). GTR: \(t_1\approx0{,}64\) und \(t_2\approx11{,}36\).

\(0{,}64\,\mathrm h\approx38\,\mathrm{min}\), \(0{,}36\,\mathrm h\approx22\,\mathrm{min}\): Gegen 6:38 Uhr wechselt die Batterie vom Entladen zum Laden, gegen 17:22 Uhr vom Laden zum Entladen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Stammfunktion \(F(t)=-\tfrac{36}{\pi}\cos\big(\tfrac\pi{12}t\big)-0{,}5t\).

\(\int_0^{24}P(t)\,\mathrm dt=F(24)-F(0)=\big(-\tfrac{36}\pi\cos(2\pi)-12\big)-\big(-\tfrac{36}\pi\cos0\big)=-\tfrac{36}\pi-12+\tfrac{36}\pi=-12\).

Der Sinusanteil hebt sich über eine volle Periode auf; übrig bleibt \(-0{,}5\cdot24=-12\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Geladen: \(\int_{t_1}^{t_2}P(t)\,\mathrm dt\approx17{,}24\,\mathrm{kWh}\).

Entnommen: \(\int_0^{t_1}P(t)\,\mathrm dt+\int_{t_2}^{24}P(t)\,\mathrm dt\approx-29{,}24\,\mathrm{kWh}\) (Kontrolle mit b): \(17{,}24-29{,}24=-12\)).

An diesem Tag werden etwa \(17{,}2\,\mathrm{kWh}\) geladen und \(29{,}2\,\mathrm{kWh}\) entnommen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Laden: \(17{,}2\,\mathrm{kWh}<20\,\mathrm{kWh}\) — die tagsüber geladene Energie passt vollständig in die Batterie.

Entladen: Abends und nachts werden \(29{,}2\,\mathrm{kWh}\) gebraucht; selbst eine volle Batterie liefert höchstens \(20\,\mathrm{kWh}\). Außerdem ist die Tagesbilanz \(-12\,\mathrm{kWh}\): Ohne Netzstrom würde der Ladestand jeden Tag um 12 kWh sinken.

Urteil: Als Zwischenspeicher für den Solarstrom ist die Batterie passend groß, die vollständige Versorgung über Nacht leistet sie nicht — das Haus braucht zusätzlich Netzstrom oder eine größere Solaranlage. Vollständig ist eine Antwort, die beide Energiemengen mit der Kapazität vergleicht und die Bilanz aus b) einbezieht.