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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Was weißt du über I₂?
AFB IGegeben ist eine stetige Funktion \(f\) und ihre Integralfunktion \(I_2(x)=\int_2^x f(t)\,\mathrm dt\). Geben Sie alle wahren Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(I_2\) misst orientierte Flächen — links von 2 oder unter der x-Achse wird \(I_2(x)\) negativ. Die untere Grenze verschiebt die Integralfunktion nur um eine Konstante: \(I_0(x)=I_2(x)+\int_0^2 f(t)\,\mathrm dt\). Die Ableitung bleibt \(f(x)\) — ein \(-f(2)\) entsteht nicht, denn die Konstante fällt weg.
Ansatz: Welchen Flächeninhalt hat der „Streifen“ von 2 bis 2? Und was sagt der Hauptsatz über \(I_a'\)?
Weiter: Teste mit einem Beispiel: \(f(t)=1\) liefert \(I_2(x)=x-2\) und \(I_0(x)=x\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IEntscheiden Sie über fünf Aussagen zum Rechnen mit dem Hauptsatz.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Oben minus unten, \(C\) weglassen, gleiche Grenzen ergeben 0 — mehr Regeln braucht das Rechnen mit dem Hauptsatz nicht.
Ansatz: Schreibe dir die Merkformel \(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)\) daneben und prüfe jede Aussage daran.
Weiter: \(\cos\pi=-1\) und \(\cos0=1\). Was passiert mit \(+C\) beim Subtrahieren?
A3
Lückentext: die Streifen-Begründung
AFB INennen Sie die fehlenden Fachwörter der geometrischen Begründung — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Rückt die obere Grenze von \(x\) nach \(x+h\), wächst \(I_a\) um einen schmalen . Für kleines \(h\) ist er fast ein mit der Höhe \(f(x)\) und der Breite \(h\). Der \(\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}\) strebt für \(h\to0\) deshalb gegen \(f(x)\). Also ist \(I_a\) eine von \(f\), und jede andere unterscheidet sich von \(I_a\) nur um eine .
„Tangente“ bleibt übrig: Sie tritt erst auf, wenn man den Grenzwert als Steigung deutet — der Zuwachs selbst ist ein Flächenstück, keine Gerade.
Ansatz: Welche Figur liegt zwischen \(x\) und \(x+h\) unter dem Graphen?
Weiter: Ein Quotient aus Zuwachs und Schrittweite heißt … (Kapitel 1). Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine … (2.2.1).
A4
Integrale mit dem Hauptsatz
AFB IIMixBerechnen Sie die Integrale mit dem Hauptsatz. Brüche wie 7/3 sind erlaubt.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, nicht ganzzahlige Werte auf zwei Nachkommastellen.
| Integral | Wert |
|---|---|
| \(\int_0^2(3x^2-2x)\,\mathrm dx\) | |
| \(\int_{-1}^{1}(x^3+2)\,\mathrm dx\) | |
| \(\int_1^4\frac{1}{\sqrt x}\,\mathrm dx\) | |
| \(\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm dx\) | |
| \(\int_0^1 e^x\,\mathrm dx\) |
Stammfunktionen: \(x^3-x^2\); \(\tfrac14x^4+2x\) (der Summand \(x^3\) liefert \(\tfrac14-\tfrac14=0\)); \(\tfrac1{\sqrt x}=x^{-1/2}\to2\sqrt x\) (2.2.2); \(\sin x\); \(e^x\), also \(e-1\approx1{,}72\). Häufigster Fehler in Zeile 2: \(F(-1)\) ohne Klammer abziehen.
Ansatz: Erst die Stammfunktion (Regeln aus 2.2.2 und 2.2.3), dann \(F(b)-F(a)\).
Weiter: \(\frac1{\sqrt x}=x^{-\frac12}\) hat die Stammfunktion \(2x^{\frac12}=2\sqrt x\); \(\sin\tfrac\pi2=1\); \(e^0=1\).
A5
Positiv, null oder negativ?
AFB IIOrdnen Sie jedes Integral nach seinem Vorzeichen zu — ohne es auszurechnen.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1positiv
2null
3negativ
Zwei Minuszeichen ergeben Plus: Bei \(\int_0^{-2}x\,\mathrm dx\) liegt der Graph links von 0 unter der x-Achse (negativ), und die obere Grenze ist kleiner als die untere (noch einmal negativ) — Ergebnis \(+2\). Ebenso \(\int_3^1(x-4)\,\mathrm dx=4\). Null ergibt sich, wenn sich gleich große Teilflächen über und unter der x-Achse aufheben.
Ansatz: Skizziere den Graphen grob: Liegt er über oder unter der x-Achse? Heben sich Teilflächen auf?
Weiter: Ist die obere Grenze kleiner als die untere, dreht sich das Vorzeichen um: \(\int_b^a f(x)\,\mathrm dx=-\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\).
A6
Rechenkette: eine Integralfunktion untersuchen
AFB IIMixGegeben ist \(f(t)=2t-4\) mit der Integralfunktion \(I_1(x)=\int_1^x f(t)\,\mathrm dt\). Untersuchen Sie \(I_1\) Schritt für Schritt.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- \(I_1(4)\)
- \(I_1'(4)\)
- Stelle, an der \(I_1\) ein Minimum hat
- zweite Nullstelle von \(I_1\) (neben \(x=1\))
\(I_1(x)=\big[t^2-4t\big]_1^x=x^2-4x+3\). Nach dem Hauptsatz ist \(I_1'(4)=f(4)=4\) — ganz ohne Ableiten. Das Minimum liegt dort, wo \(f=I_1'\) von negativ nach positiv wechselt (Kapitel 1), also bei \(x=2\). \(I_1(3)=0\): Die negative Fläche von 1 bis 2 und die positive von 2 bis 3 heben sich auf.
Ansatz: \(I_1(x)=F(x)-F(1)\) mit \(F(t)=t^2-4t\).
Weiter: Extremstellen von \(I_1\) sind Nullstellen von \(I_1'=f\) mit Vorzeichenwechsel.
A7
Integral und Wert verbinden
AFB IIErmitteln Sie die Werte der Integrale und verbinden Sie jedes Integral mit seinem Wert.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
\(\big[2x^3\big]_1^2=16-2=14\); \(\big[2\sin\tfrac x2\big]_0^\pi=2\); \(x^3-x\) ist punktsymmetrisch, die Teilflächen heben sich auf; \(\big[x^2+x\big]_{-1}^2=6-0=6\); \(\big[2e^{x/2}\big]_0^2=2e-2\approx3{,}44\). Falle bei \(e^{x/2}\): \(e^1-e^0=e-1\) — dann fehlt der Faktor 2 aus der \(\tfrac1a\)-Regel.
Ansatz: Zuerst die leichten: Bei welchem Integral erkennst du ohne Rechnen den Wert 0?
Weiter: \(\cos\big(\tfrac x2\big)\to2\sin\big(\tfrac x2\big)\) und \(e^{x/2}\to2e^{x/2}\).
A8
Fehlersuche in Lenas Rechnung
AFB IIILena berechnet \(\int_{-1}^{2}(x^2-2x)\,\mathrm dx\) und notiert dazu sechs Sätze — drei davon sind falsch. Überprüfen Sie jeden Satz.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Satz 3 ist der Klassiker: Die untere Grenze wird als ganzer Term abgezogen. Satz 4 bereitet 2.3.2 vor — Integral und Flächeninhalt sind zwei verschiedene Dinge.
Ansatz: Rechne \(F(2)\) und \(F(-1)\) einzeln aus und setze erst dann ein.
Weiter: \(F(-1)=-\tfrac13-1=-\tfrac43\). Für Satz 6: Teste mit \(\int_0^1 x\,\mathrm dx\) und \(\int_1^0 x\,\mathrm dx\).
A9
Trickaufgabe: nicht ausmultiplizieren
AFB IIITrickBestimmen Sie \(\int_0^2 8x\,(x^2-1)^3\,\mathrm dx\) — ohne auszumultiplizieren.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(8x(x^2-1)^3\) ist die Ableitung von \((x^2-1)^4\) (Kettenregel: \(4(x^2-1)^3\cdot2x\)). Also \(\int_0^2 8x(x^2-1)^3\,\mathrm dx=\big[(x^2-1)^4\big]_0^2=3^4-(-1)^4=81-1=80\). Wer ausmultipliziert, kommt auch ans Ziel — braucht aber sieben Summanden. Falle: \((-1)^4=-1\) rechnen und 82 erhalten.
Ansatz: Welche Funktion hat genau \(8x(x^2-1)^3\) als Ableitung? Denke an die Kettenregel aus Kapitel 1.
Weiter: \(\big((x^2-1)^4\big)'=4(x^2-1)^3\cdot2x\). Jetzt nur noch \(F(2)-F(0)\).
A10
Vom Graphen von f zur Integralfunktion
AFB IIIDie Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). \(I_0(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm dt\) ist ihre Integralfunktion. Deuten Sie den Graphen von \(f\) im Hinblick auf \(I_0\) und vervollständigen Sie die Tabelle.
Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Alle zwölf Felder müssen stimmen.
| Stelle | Vorzeichen \(f(x)\) | Verlauf \(I_0\) | Vorzeichen \(I_0(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(x=0{,}5\) | |||
| \(x=1\) | |||
| \(x=3\) | |||
| \(x=4\) |
\(I_0'=f\): Wo \(f\) positiv ist, steigt \(I_0\); Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von \(f\) sind Extremstellen von \(I_0\). Das Vorzeichen von \(I_0(x)\) ist dagegen eine Flächenbilanz ab 0: Die grüne Fläche von 0 bis 1 ist kleiner als die rote von 1 bis 3 — deshalb ist \(I_0(3)\) schon negativ (genau: \(I_0(1)=\tfrac{11}{12}\), \(I_0(3)=-\tfrac34\), \(I_0(4)=-\tfrac43\)).
Ansatz: Nach dem Hauptsatz ist \(I_0'(x)=f(x)\) — lies das Vorzeichen von \(I_0'\) am Graphen von \(f\) ab.
Weiter: Für das Vorzeichen von \(I_0(x)\) vergleiche die grünen und roten Flächen zwischen 0 und \(x\) — Kästchen zählen hilft.