MINT lernen

Abituraufgaben: Der Hauptsatz

Solarstrom über den Tag und ein Pumpspeicher im Sechs-Stunden-Takt — Flächen als Energie und Wasser.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Solaranlage auf dem Schuldach

AFB I–II

Die Leistung der Photovoltaikanlage auf einem Schuldach wird an einem sonnigen Sommertag beschrieben durch

\(P(t)=-\tfrac14t^2+3t,\quad0\le t\le12,\)

mit \(t\) in Stunden nach 6:00 Uhr und \(P(t)\) in Kilowatt (kW). Die von 6:00 Uhr bis zum Zeitpunkt \(x\) erzeugte Energie in Kilowattstunden (kWh) ist \(E(x)=\int_0^x P(t)\,\mathrm dt\) (Material M1).

M1 Leistung der Photovoltaikanlage
24681012246810t in hP(t) in kWP
Die Fläche unter dem Graphen entspricht der erzeugten Energie.
  1. Lesen Sie aus Material M1 die maximale Leistung und die zugehörige Uhrzeit ab. 2 BE
  2. ohne HilfsmittelBerechnen Sie die an diesem Tag insgesamt erzeugte Energie. 4 BE
  3. Erläutern Sie anhand eines schmalen Flächenstreifens unter dem Graphen von \(P\), warum \(E'(x)=P(x)\) gilt. 3 BE
  4. GTR/CASDie Schule verbraucht bis zum Unterrichtsende \(30\,\mathrm{kWh}\). Ermitteln Sie die Uhrzeit, zu der die Anlage seit 6:00 Uhr genauso viel Energie erzeugt hat. 3 BE

Insgesamt 12 BE.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Parabel ist symmetrisch zu ihrem Scheitel. \(t=0\) entspricht 6:00 Uhr.„Ablesen“: Wert und Uhrzeit direkt aus dem Diagramm entnehmen, ohne Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\int_0^{12}P(t)\,\mathrm dt=\big[F(t)\big]_0^{12}\) mit einer Stammfunktion \(F\). Einheit: kW · h = kWh.
Hinweis zu Aufgabe c)
Betrachte den Zuwachs \(E(x+h)-E(x)\) für kleines \(h\): Welche Form hat der Streifen, welchen Inhalt hat er ungefähr?„Erläutern“: die Begründung aus dem Unterricht (Streifen → Rechteck → Grenzwert) am Beispiel der Leistung darstellen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Stelle \(E(x)\) integralfrei auf und löse \(E(x)=30\) mit dem GTR, z. B. als Schnittpunkt von Y1 = \(E(x)\) und Y2 = 30. Nur Lösungen in \([0;12]\) sind sinnvoll.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(t=6\) mit \(P(6)=9\): Die maximale Leistung beträgt \(9\,\mathrm{kW}\) um 12:00 Uhr.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Stammfunktion \(F(t)=-\tfrac1{12}t^3+\tfrac32t^2\).

\(\int_0^{12}P(t)\,\mathrm dt=F(12)-F(0)=\big(-\tfrac{1728}{12}+\tfrac32\cdot144\big)-0=-144+216=72\).

Die Anlage erzeugt an diesem Tag \(72\,\mathrm{kWh}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Erhöht man \(x\) um ein kleines \(h\), kommt unter dem Graphen ein schmaler Streifen hinzu; sein Inhalt ist \(E(x+h)-E(x)\). Er ist fast ein Rechteck mit Breite \(h\) und Höhe \(P(x)\): \(E(x+h)-E(x)\approx P(x)\cdot h\).

Also \(\dfrac{E(x+h)-E(x)}{h}\approx P(x)\); für \(h\to0\) wird die Näherung exakt, der Differenzenquotient geht in die Ableitung über: \(E'(x)=P(x)\). Im Sachzusammenhang: Die momentane Zunahme der erzeugten Energie ist die momentane Leistung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(E(x)=-\tfrac1{12}x^3+\tfrac32x^2\). \(E(x)=30\) liefert mit dem GTR in \([0;12]\) die Lösung \(x\approx5{,}33\) (die weiteren Lösungen \(x\approx-4{,}04\) und \(x\approx16{,}71\) liegen außerhalb des Definitionsbereichs).

\(0{,}33\,\mathrm h\approx20\,\mathrm{min}\): Gegen 11:20 Uhr hat die Anlage \(30\,\mathrm{kWh}\) erzeugt.

2

Pumpspeicherkraftwerk

AFB II–III

Ein Pumpspeicherkraftwerk pumpt bei Stromüberschuss Wasser in ein Oberbecken und lässt es bei Strombedarf über Turbinen wieder ab. Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Oberbecken wird für sechs Stunden beschrieben durch

\(f(t)=t\,(t-3)(t-6)=t^3-9t^2+18t,\quad0\le t\le6,\)

mit \(t\) in Stunden und \(f(t)\) in \(1000\,\mathrm{m^3}\) pro Stunde. Die Funktion \(V\) mit \(V(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm dt\) beschreibt die Änderung des Wasservolumens gegenüber dem Beginn (Material M1).

M1 Änderungsrate des Wasservolumens im Oberbecken
123456−12−8−44812t in hf(t) in 1000 m³/hPumpenTurbinenf
Blau: Wasser wird hochgepumpt. Orange: Wasser fließt durch die Turbinen ab.
  1. ohne HilfsmittelBegründen Sie mithilfe des Hauptsatzes und des Materials M1, dass \(V\) bei \(t=3\) ein Maximum hat. 3 BE
  2. ohne HilfsmittelLeiten Sie einen integralfreien Term für \(V(x)\) her. 3 BE
  3. GTR/CASUntersuchen Sie, wie viel Wasser zum Zeitpunkt \(t=3\) zusätzlich im Oberbecken ist und ob das Becken nach sechs Stunden wieder den Anfangsstand erreicht. 4 BE
  4. Ein Besucher meint: „Weil \(V(6)=0\) ist, ist in den sechs Stunden gar kein Wasser durch die Turbinen geflossen.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage. 3 BE

Insgesamt 13 BE.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nach dem Hauptsatz ist \(V'(x)=f(x)\). Welches Vorzeichen hat \(f\) vor und nach \(t=3\)?
Hinweis zu Aufgabe b)
Stammfunktion von \(t^3-9t^2+18t\) mit der Potenzregel bilden, dann \(V(x)=F(x)-F(0)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne \(V(3)\) und \(V(6)\) mit dem Term aus b) und deute die Ergebnisse. Einheit: \(1000\,\mathrm{m^3}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Kriterien: Was misst ein Integral — Bilanz oder Gesamtmenge? Wie viel Wasser wurde von \(t=3\) bis \(t=6\) abgelassen?„Stellung nehmen“: die Aussage prüfen, ein eigenes Urteil fällen und mit Zahlen belegen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nach dem Hauptsatz gilt \(V'(x)=f(x)\). Laut M1 ist \(f(t)>0\) für \(0<t<3\) und \(f(t)<0\) für \(3<t<6\).

\(V'\) wechselt bei \(t=3\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\): \(V\) steigt bis \(t=3\) und fällt danach — Maximum bei \(t=3\). Im Sachzusammenhang: Bis \(t=3\) wird gepumpt, danach abgelassen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Stammfunktion \(F(t)=\tfrac14t^4-3t^3+9t^2\) mit \(F(0)=0\).

\(V(x)=F(x)-F(0)=\tfrac14x^4-3x^3+9x^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(V(3)=\tfrac{81}4-81+81=20{,}25\): Nach drei Stunden sind \(20\,250\,\mathrm{m^3}\) mehr im Oberbecken als zu Beginn — das ist der höchste Stand.

\(V(6)=\tfrac{1296}4-648+324=0\): Nach sechs Stunden ist das Volumen wieder genau so groß wie zu Beginn; der Anfangsstand ist erreicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Aussage ist falsch. \(V(6)=0\) ist eine Bilanz: Hochgepumptes und abgelassenes Wasser heben sich auf.

Von \(t=3\) bis \(t=6\) flossen \(\lvert V(6)-V(3)\rvert=20{,}25\), also \(20\,250\,\mathrm{m^3}\) Wasser durch die Turbinen (in M1: gleich große blaue und orange Fläche). Insgesamt wurden \(2\cdot20\,250=40\,500\,\mathrm{m^3}\) bewegt. Wer die gesamte bewegte Wassermenge wissen will, muss die Flächen ober- und unterhalb der t-Achse getrennt addieren.