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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Das Integral lesen
AFB IGegeben ist \(\displaystyle\int_{1}^{5} (2t+1)\,\mathrm dt\). Gib alle zutreffenden Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Das Ergebnis ist eine Zahl: \(t\) läuft nur von \(1\) bis \(5\) und ist danach „verbraucht“. Unter der Geraden \(y=2t+1\) liegt zwischen \(t=1\) und \(t=5\) ein Trapez mit den Seiten \(3\) und \(11\): \(\tfrac{3+11}{2}\cdot4=28\). \(\mathrm dt\) ist kein Produkt, sondern der Rest der Streifenbreite \(\Delta t\) — es zeigt, nach welcher Variablen integriert wird. Die obere Grenze steht oben: \(5\).
Integrand = die Funktion zwischen \(\int\) und \(\mathrm dt\). Integrationsvariable = die Variable hinter dem \(\mathrm d\).
Für den Wert: Zeichne \(y=2t+1\) von \(t=1\) bis \(t=5\). Die Fläche darunter ist ein Trapez.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen über orientierte Flächeninhalte und die Rechenregeln für Integrale.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Das Integral zählt Flächen mit Vorzeichen: oberhalb plus, unterhalb minus, bei vertauschten Grenzen alles mal \(-1\) — und bei gleichen Grenzen gibt es gar keine Streifen.
Überlege bei jeder Aussage: Wie sehen die Produkte \(f(x_i)\cdot\Delta x\) aus — positiv, negativ oder null?
\(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\) ist negativ, wenn \(b<a\) ist, und null, wenn \(a=b\) ist.
A3
Vom Streifen zum Integral
AFB ISetze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Teilt man das Intervall \([a;b]\) in \(n\) gleich breite Streifen, hat jeder Streifen die \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\). Die Summe \(f(x_1)\cdot\Delta x+\dots+f(x_n)\cdot\Delta x\) heißt . Für \(n\to\infty\) streben Unter- und Obersumme gegen denselben . Dieser Wert heißt von \(f\) über \([a;b]\). Flächen unterhalb der \(x\)-Achse gehen dabei in die Summe ein
Die Ableitung gehört zur Steigung eines Graphen, nicht zur Summe von Streifenflächen. Beim Integral werden Produkte aus Höhe und Breite addiert — und im Grenzfall unendlich schmal gemacht.
Ein Streifen ist ein Rechteck: Höhe mal was?
Die Reihenfolge im Text: erst die Streifen, dann ihre Summe, dann der Grenzübergang, dann der Name des Ergebnisses.
A4
Plus, null oder minus?
AFB IIOhne zu rechnen: Welches Vorzeichen hat das Integral? Ordne jede Karte dem passenden Korb zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Integral ist positiv
2Integral ist null
3Integral ist negativ
Die Falle ist \(\int_3^1(-2)\,\mathrm dx\): Der Integrand ist negativ und die Grenzen sind vertauscht — zweimal Minus ergibt Plus, der Wert ist \(4\). Ebenso ist \(\int_1^0(x^2+1)\,\mathrm dx\) trotz positivem Integrand negativ. Null werden Integrale bei Punktsymmetrie (\(x^5\) auf \([-3;3]\), \(x-2\) um \(x=2\)) und bei gleichen Grenzen.
Skizziere jeden Integranden grob. Liegt die Fläche über oder unter der \(x\)-Achse? Und laufen die Grenzen von links nach rechts?
Achte auf zwei Minuszeichen-Quellen: negativer Integrand und obere Grenze kleiner als untere. Gleich große Flächen oberhalb und unterhalb heben sich auf.
A5
Trickaufgabe: Grenzen verkehrt herum
TrickAFB IIBerechne \(\displaystyle\int_{4}^{-2} (3-x)\,\mathrm dx\) mithilfe von Dreiecksflächen.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Von \(-2\) bis \(3\) liegt über der Achse ein Dreieck mit \(\tfrac12\cdot5\cdot5=12{,}5\), von \(3\) bis \(4\) darunter eines mit \(-\tfrac12\cdot1\cdot1=-0{,}5\). Von \(-2\) nach \(4\) ergibt das \(12\); da die Grenzen vertauscht sind: \(-12\). Typische Fehler: \(12\) (Reihenfolge übersehen) und \(13\) (Flächeninhalt statt orientierter Fläche).
Rechne zuerst \(\int_{-2}^{4}(3-x)\,\mathrm dx\). Die Gerade schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=3\).
Zwei Dreiecke: eines über der Achse (Katheten \(5\) und \(5\)), eines darunter (Katheten \(1\) und \(1\)). Danach die Grenzen tauschen: Vorzeichen wechseln.
A6
Integrale der Größe nach
AFB IIAlle fünf Integrale gehören zur Funktion \(f(x)=x\). Vergleiche die Werte und ordne vom kleinsten (oben) zum größten (unten).
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1∫ von −3 bis 1 x dx
2∫ von 2 bis 0 x dx
3∫ von −2 bis 2 x dx
4∫ von 1 bis 3 x dx
5∫ von 0 bis −3 x dx
Werte: \(-4\), \(-2\), \(0\), \(4\), \(4{,}5\). Am häufigsten verrutscht \(\int_0^{-3}x\,\mathrm dx\): Die Fläche liegt unter der Achse, und die Grenzen laufen rückwärts — minus mal minus, der Wert ist \(+4{,}5\). Kontrolle mit der Dreiecksformel: \(\int_a^b x\,\mathrm dx=\tfrac{b^2-a^2}{2}\).
Zeichne \(y=x\) und markiere die Flächen als Dreiecke oder Trapeze. Zähle oberhalb plus, unterhalb minus.
Bei vertauschten Grenzen wechselt das Vorzeichen: \(\int_2^0x\,\mathrm dx=-\int_0^2x\,\mathrm dx=-2\).
A7
Rechenkette: Wie viele Streifen?
MixAFB IIFür \(f(x)=\tfrac12x^2\) auf \([0;4]\) werden Unter- und Obersummen gebildet (Rechteckstreifen aus 2.1.3). Ermittle Schritt für Schritt:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Streifenbreite \(\Delta x\) für \(n=4\)
- Untersumme \(U_4\)
- Obersumme \(O_4\)
- kleinstes \(n\) mit \(O_n-U_n\le0{,}1\)
\(U_4=(0+0{,}5+2+4{,}5)\cdot1=7\), \(O_4=(0{,}5+2+4{,}5+8)\cdot1=15\). Allgemein gilt \(O_n-U_n=\big(f(4)-f(0)\big)\cdot\Delta x=8\cdot\tfrac4n=\tfrac{32}{n}\) — für \(0{,}1\) braucht man \(n=320\) Streifen. Das Integral \(\tfrac{32}{3}\approx10{,}67\) liegt immer zwischen \(U_n\) und \(O_n\); der Abstand verschwindet erst im Grenzwert.
\(f\) steigt auf \([0;4]\): Die Untersumme nimmt jeweils den linken, die Obersumme den rechten Randwert jedes Streifens.
Beim Übergang von \(U_n\) zu \(O_n\) fällt nur der erste Streifen weg und ein Streifen mit Höhe \(f(4)\) kommt dazu: \(O_n-U_n=(f(4)-f(0))\cdot\Delta x\).
A8
Integrale aus Bausteinen
AFB IIIVon einer Funktion \(f\) ist bekannt: \(\int_0^3 f(x)\,\mathrm dx=5\), \(\int_3^7 f(x)\,\mathrm dx=-2\) und \(\int_0^{10} f(x)\,\mathrm dx=4\). Ordne jedem Integral seinen Wert zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zusammensetzen: \(\int_0^7=5+(-2)=3\). Rest bis \(10\): \(\int_7^{10}=4-3=1\). Umdrehen: \(\int_3^0=-5\), \(\int_7^3=+2\). Und \(\int_3^{10}=\int_0^{10}-\int_0^3=4-5=-1\) — obwohl hier nie direkt eine Zahl gegeben ist.
Nutze \(\int_a^b+\int_b^c=\int_a^c\) und \(\int_b^a=-\int_a^b\). Zeichne dir eine Zahlengerade mit \(0\), \(3\), \(7\), \(10\).
\(\int_7^{10}f(x)\,\mathrm dx=\int_0^{10}f(x)\,\mathrm dx-\int_0^7f(x)\,\mathrm dx\).
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIISechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Überprüfe jeden Satz.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler in Klassenarbeiten ist Satz 2: Integral und Flächeninhalt werden gleichgesetzt. Ein Integral von \(0\) heißt nur, dass sich Plus- und Minusflächen ausgleichen.
Skizziere bei jedem Satz den Integranden und prüfe: Liegt die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse?
Bei Satz 6 lohnt es sich, den Integranden in zwei Summanden zu zerlegen: \(x^3\) und \(2\).
A10
Was passiert mit dem Integral?
AFB IIIAusgangspunkt ist \(I=\int_0^2(x+1)\,\mathrm dx=4\). Jede Zeile verändert Grenzen oder Integranden. Schätze für jede Zeile ein, was aus dem Wert wird — ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird zu −I, 2 = wird 0, 3 = bleibt I, 4 = wird genau 2I, 5 = wird mehr als 2I. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird zu −I5 = wird mehr als 2I
Grenzen vertauschen: ∫ von 2 bis 0 (x + 1) dx
Integrand verdoppeln: ∫ von 0 bis 2 2(x + 1) dx
Graph und Grenzen um 2 nach rechts: ∫ von 2 bis 4 (x − 1) dx
obere Grenze verdoppeln: ∫ von 0 bis 4 (x + 1) dx
Grenzen verschieben: ∫ von −3 bis 1 (x + 1) dx
Wer Graph und Grenzen gemeinsam verschiebt, verändert die Fläche nicht. Die doppelte Intervalllänge liefert hier nicht \(2I\), sondern \(3I=12\) — der Graph steigt, die neuen Streifen sind höher. Auf \([-3;1]\) liegt die Nullstelle \(-1\) genau in der Mitte: zwei gleich große Dreiecke mit entgegengesetztem Vorzeichen.
Stell dir die Fläche unter \(y=x+1\) als Trapez vor. Welche Veränderung spiegelt, streckt oder verschiebt sie?
Bei \([-3;1]\): Die Gerade schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\). Vergleiche die Dreiecke links und rechts davon.