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Abituraufgaben: Das Integral als Grenzwert

Vom Regenüberlaufbecken bis zur anfahrenden Straßenbahn: Wenn die Streifen unendlich schmal werden, wird aus der Näherung ein exakter Wert.

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Regenüberlaufbecken

AFB I–II

Ein Regenüberlaufbecken fängt bei Starkregen Wasser aus der Kanalisation auf. Material 1 zeigt die Zuflussrate \(r(t)\) in \(\tfrac{\mathrm m^3}{\mathrm h}\) für die ersten acht Stunden nach Beginn eines Unwetters (\(t\) in Stunden). Negative Werte bedeuten, dass eine Pumpe mehr Wasser abführt, als zufließt.

Material 1: Zuflussrate in das Becken
−40−30−20−1001020304050607012345678t in hr(t) in m³/h
Positive Werte: Wasser fließt zu. Negative Werte: Die Pumpe fördert Wasser ab.

Alle Teilaufgaben sind ohne Hilfsmittel zu bearbeiten. Insgesamt 15 BE.

  1. Geben Sie ohne Rechnung das Zeitintervall an, in dem Wasser aus dem Becken abgepumpt wird, sowie den Zeitraum, in dem der Zufluss am stärksten ist.2 BE
  2. Berechnen Sie \(\displaystyle\int_0^6 r(t)\,\mathrm dt\) und geben Sie die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an.4 BE
  3. Beschreiben Sie, wie man \(\displaystyle\int_0^2 r(t)\,\mathrm dt\) als Grenzwert von Produktsummen erhält. Gehen Sie dabei auf Streifenbreite, Unter- und Obersumme sowie den Grenzübergang ein.4 BE
  4. Zu Beginn befinden sich \(50\,\mathrm m^3\) Wasser im Becken. Ermitteln Sie, wann das Becken im Zeitraum \(0\le t\le8\) am meisten Wasser enthält, sowie die Wassermenge zu diesem Zeitpunkt und am Ende nach \(8\) Stunden.5 BE

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Suche im Graphen die Stelle, an der \(r\) das Vorzeichen wechselt. Beim stärksten Zufluss ist nach dem größten Wert von \(r\) gefragt — nicht nach dem größten Beckeninhalt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zerlege die Fläche zwischen Graph und \(t\)-Achse in Dreiecke und ein Rechteck. Einheit: \(\tfrac{\mathrm m^3}{\mathrm h}\cdot\mathrm h\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Beginne mit der Einteilung von \([0;2]\) in \(n\) gleich breite Streifen. Welche Randwerte liefern bei steigendem \(r\) die Unter- bzw. Obersumme?„Beschreiben“ verlangt einen geordneten Ablauf in Fachsprache, keine Rechnung mit Zahlen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Der Bestand wächst, solange \(r>0\) ist. Für das Ende brauchst du zusätzlich die orientierten Flächen von \(t=6\) bis \(t=8\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Abgepumpt wird, solange \(r(t)<0\) ist: für \(6<t\le8\), also in den letzten beiden Stunden.

Der Zufluss ist am stärksten mit \(60\,\tfrac{\mathrm m^3}{\mathrm h}\) im ganzen Zeitraum \(2\le t\le4\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zerlegung: Dreieck \(0\le t\le2\): \(\tfrac12\cdot2\cdot60=60\); Rechteck \(2\le t\le4\): \(2\cdot60=120\); Dreieck \(4\le t\le6\): \(\tfrac12\cdot2\cdot60=60\).

\(\displaystyle\int_0^6 r(t)\,\mathrm dt=60+120+60=240\).

In den ersten sechs Stunden nimmt die Wassermenge im Becken um \(240\,\mathrm m^3\) zu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Man teilt \([0;2]\) in \(n\) gleich breite Streifen der Breite \(\Delta t=\tfrac2n\). Auf jedem Streifen ersetzt man die Rate durch einen konstanten Wert und bildet das Produkt \(r(t_i)\cdot\Delta t\) (Wasserzunahme bei konstanter Rate).

Da \(r\) auf \([0;2]\) steigt, liefert der linke Randwert jedes Streifens die Untersumme \(U_n\), der rechte die Obersumme \(O_n\); das gesuchte Integral liegt dazwischen.

Es gilt \(O_n-U_n=\big(r(2)-r(0)\big)\cdot\Delta t=\tfrac{120}{n}\to0\) für \(n\to\infty\). \(U_n\) und \(O_n\) streben gegen denselben Grenzwert — das ist das Integral, hier \(60\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Solange \(r(t)>0\) ist, nimmt der Inhalt zu, danach ab. Das Maximum liegt daher bei \(t=6\): \(50+240=290\,\mathrm m^3\).

Von \(6\) bis \(8\): Dreieck \(\tfrac12\cdot1\cdot(-30)=-15\) und Rechteck \(1\cdot(-30)=-30\), zusammen \(-45\).

Nach \(8\) Stunden: \(290-45=245\,\mathrm m^3\), das sind \(195\,\mathrm m^3\) mehr als zu Beginn.

2

Anfahrende Straßenbahn

AFB II–III

Eine Straßenbahn fährt an einer Haltestelle an. In den ersten \(20\) Sekunden wird ihre Geschwindigkeit modellhaft beschrieben durch

\(v(t)=0{,}03\,t^2\)   mit \(t\) in s und \(v(t)\) in \(\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\), \(0\le t\le20\).

Um den in dieser Zeit zurückgelegten Weg zu bestimmen, wird das Intervall \([0;20]\) in \(n\) gleich lange Zeitabschnitte der Dauer \(\Delta t=\tfrac{20}{n}\) eingeteilt.

Material 2: Summenformel
Für jede natürliche Zahl \(n\) gilt \(\;1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}\).
Material 3: Geschwindigkeit der Straßenbahn mit Obersumme O₄
02468101205101520t in sv(t) in m/s
Orange: vier Rechteckstreifen, deren Höhen am rechten Rand jedes Zeitabschnitts abgelesen werden.

Teilaufgaben a), b) und d) ohne Hilfsmittel; in c) ist ein CAS zur Kontrolle erlaubt. Insgesamt 16 BE.

  1. Erläutern Sie, warum die Summe \(v(t_1)\cdot\Delta t+\dots+v(t_n)\cdot\Delta t\) eine Näherung für den zurückgelegten Weg ist und warum die Obersumme \(O_n\) den Weg überschätzt.3 BE
  2. Bestätigen Sie mithilfe von Material 3, dass \(O_4=112{,}5\,\mathrm m\) und \(U_4=52{,}5\,\mathrm m\) gilt.3 BE
  3. Leiten Sie mithilfe der Summenformel die Darstellung \(O_n=40\cdot\left(1+\tfrac1n\right)\left(2+\tfrac1n\right)\) her und bestimmen Sie den Grenzwert von \(O_n\) für \(n\to\infty\).6 BE
  4. Ein Schüler schlägt vor, statt eines Grenzwerts einfach den Mittelwert \(\tfrac{U_4+O_4}{2}\) als zurückgelegten Weg zu verwenden. Außerdem gilt \(U_n=40\left(1-\tfrac1n\right)\left(2-\tfrac1n\right)\). Beurteilen Sie den Vorschlag und geben Sie an, ab welchem \(n\) sich \(U_n\) und \(O_n\) um höchstens \(1\,\mathrm m\) unterscheiden.4 BE

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Was bedeutet ein einzelnes Produkt \(v\cdot\Delta t\) physikalisch? Und welchen Geschwindigkeitswert nimmt die Obersumme in jedem Zeitabschnitt?
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\Delta t=5\,\mathrm s\). Für \(O_4\) die Werte an den rechten Rändern \(5,10,15,20\), für \(U_4\) an den linken \(0,5,10,15\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Mit \(\Delta t=\tfrac{20}{n}\) und \(t_i=i\cdot\Delta t\) ist \(v(t_i)=0{,}03\cdot i^2\cdot\left(\tfrac{20}{n}\right)^2\). Klammere alles aus, was nicht von \(i\) abhängt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche den Mittelwert mit dem Grenzwert aus c). Für den Abstand: \(O_n-U_n=\big(v(20)-v(0)\big)\cdot\Delta t\).Ein Urteil braucht Kriterien: Genauigkeit und Aufwand.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Auf einem kurzen Zeitabschnitt \(\Delta t\) ändert sich die Geschwindigkeit kaum; nimmt man sie als konstant an, ist \(v(t_i)\cdot\Delta t\) der in diesem Abschnitt zurückgelegte Weg (Weg = Geschwindigkeit · Zeit). Die Summe aller Abschnitte nähert den Gesamtweg an.

Die Bahn wird immer schneller (\(v\) steigt). Die Obersumme rechnet in jedem Abschnitt mit der Geschwindigkeit am Ende des Abschnitts, also mit einem zu großen Wert — deshalb überschätzt \(O_n\) den Weg.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(v(0)=0\), \(v(5)=0{,}75\), \(v(10)=3\), \(v(15)=6{,}75\), \(v(20)=12\) (in \(\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\)).

\(O_4=5\cdot(0{,}75+3+6{,}75+12)=5\cdot22{,}5=112{,}5\,\mathrm m\).

\(U_4=5\cdot(0+0{,}75+3+6{,}75)=5\cdot10{,}5=52{,}5\,\mathrm m\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\Delta t=\tfrac{20}{n}\), \(t_i=\tfrac{20i}{n}\), \(v(t_i)=0{,}03\cdot\tfrac{400\,i^2}{n^2}=\tfrac{12\,i^2}{n^2}\).

\(O_n=\sum\limits_{i=1}^{n}\tfrac{12\,i^2}{n^2}\cdot\tfrac{20}{n}=\tfrac{240}{n^3}\,(1^2+2^2+\dots+n^2)=\tfrac{240}{n^3}\cdot\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\tfrac{40\,(n+1)(2n+1)}{n^2}\).

Kürzen: \(\tfrac{n+1}{n}=1+\tfrac1n\), \(\tfrac{2n+1}{n}=2+\tfrac1n\), also \(O_n=40\left(1+\tfrac1n\right)\left(2+\tfrac1n\right)\).

Für \(n\to\infty\) gehen \(\tfrac1n\to0\): \(\lim\limits_{n\to\infty}O_n=40\cdot1\cdot2=80\). Die Bahn legt in den \(20\,\mathrm s\) also \(\int_0^{20}v(t)\,\mathrm dt=80\,\mathrm m\) zurück. (Kontrolle mit CAS: Summenbefehl für \(O_n\), dann Grenzwert.)

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\tfrac{52{,}5+112{,}5}{2}=82{,}5\,\mathrm m\) — das ist nur \(2{,}5\,\mathrm m\) (gut \(3\,\%\)) mehr als der exakte Wert \(80\,\mathrm m\). Als schnelle Schätzung ist der Vorschlag brauchbar, er liefert aber nicht den exakten Wert. Weil der Graph nach oben gekrümmt ist, liegt das Integral näher an der Untersumme; der Mittelwert überschätzt systematisch.

Abstand: \(O_n-U_n=12\cdot\tfrac{20}{n}=\tfrac{240}{n}\le1\) für \(n\ge240\). Erst mit \(240\) Streifen sind beide Summen bis auf \(1\,\mathrm m\) genau — der Grenzwert liefert dagegen sofort den exakten Weg.