Grenzwert der Produktsummen
Der Abstand \(O_n-U_n=\big|f(b)-f(a)\big|\cdot\Delta x\) wird mit wachsendem \(n\) beliebig klein — im Grenzfall verschwindet er.
- Grenzwert:für \(n\to\infty\) streben \(U_n\), \(O_n\) und jede Produktsumme \(S_n\) gegen denselben Wert.
- Bestimmtes Integral:dieser gemeinsame Grenzwert, geschrieben \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\), gelesen „Integral von \(a\) bis \(b\) über \(f(x)\,\mathrm dx\)“.
- Integrand:die Funktion \(f(x)\) — sie liefert die Streifenhöhen.
- Integrationsgrenzen:untere Grenze \(a\), obere Grenze \(b\).
- Integrationsvariable:\(x\), angezeigt durch \(\mathrm dx\) — der Rest der Streifenbreite \(\Delta x\).
- Schreibweise:das Integralzeichen \(\int\) ist ein langgezogenes S für „Summe“.
Bestimmtes Integral: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\big(f(x_1)\cdot\Delta x+\dots+f(x_n)\cdot\Delta x\big)\)
Orientierter Flächeninhalt
Liegt der Graph unter der \(x\)-Achse, sind die Funktionswerte \(f(x_i)\) negativ — und damit auch die Produkte \(f(x_i)\cdot\Delta x\).
- Oberhalb:Flächen über der \(x\)-Achse zählen positiv.
- Unterhalb:Flächen unter der \(x\)-Achse zählen negativ.
- Integral:Summe der orientierten Flächen — Teilflächen können sich ganz oder teilweise aufheben.
- Sachkontext:Zufluss positiv, Abfluss negativ — das Integral ist die Gesamtänderung des Bestands.
- Gleiche Grenzen:bei \(a=b\) ist \(\Delta x=0\), das Integral also \(0\).
- Aneinanderhängen:Streifen von \(a\) bis \(b\) und von \(b\) bis \(c\) ergeben zusammen die Streifen von \(a\) bis \(c\).
- Vertauschen:von \(b\) nach \(a\) ist \(\Delta x=\tfrac{a-b}{n}\) negativ — jedes Produkt und damit das Integral wechselt das Vorzeichen.
Ziehe die Grenzen \(a\) und \(b\) auf der \(x\)-Achse (oder wähle sie an und nutze die Pfeiltasten). Vergleiche die Produktsummen für \(n=10\), \(100\) und \(1000\) mit dem Integral und achte auf das Vorzeichen.
Halte fest: Das Integral ist „blau minus rot“ — und es dreht sein Vorzeichen, wenn \(a\) und \(b\) die Plätze tauschen.
\(\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)
Allgemeine Hinweise
Integral ≠ Flächeninhalt
Ein Integral kann \(0\) oder negativ sein, obwohl sichtbar Fläche da ist. Für den echten Flächeninhalt müssen Teilflächen ober- und unterhalb der \(x\)-Achse getrennt betrachtet werden.
dx gehört dazu
\(\mathrm dx\) nennt die Integrationsvariable. In \(\displaystyle\int_0^2 k\cdot t\,\mathrm dt\) wird über \(t\) integriert, \(k\) ist nur ein fester Faktor.
Einheit des Integrals
Einheit des Integranden mal Einheit der Variablen, z. B. \(\tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}\cdot\text{h}=\text{m}^3\) — wie bei den Rechteckstreifen.