Liter, Megabyte, Kilowattstunden — zehn Übungen dazu, was ein Integral über eine Rate wirklich misst.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Welche Einheit hat das Integral?
AFB I
\(r\) ist jeweils eine Änderungsrate, \(t\) die Zeit. Ordnen Sie jeder Situation die Einheit von \(\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t\) zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Einheit des Integrals = Einheit der Rate mal Einheit der Zeit — das „pro Zeit“ kürzt sich weg: \(\tfrac{\text{MB}}{\text{s}}\cdot\text{s}=\text{MB}\). Einzige Falle: Leistung mal Zeit ergibt Energie, \(\text{kW}\cdot\text{h}=\text{kWh}\) — nicht kW.
Ansatz: Das Integral ist eine Summe von Produkten „Rate mal Zeitspanne“ — genau wie ein Rechteckstreifen aus 2.1.3.
Weiter: Multipliziere die Einheiten und kürze: \(\tfrac{\text{cm}}{\text{Jahr}}\cdot\text{Jahr}=\text{cm}\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
\(r\) ist die Änderungsrate eines Bestands \(B\). Geben Sie zu jeder Aussage an, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Alle fünf Aussagen hängen an einer Gleichung: \(B(b)=B(a)+\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t\). Das Integral misst die Änderung, das Vorzeichen von \(r\) sagt, ob \(B\) gerade steigt oder fällt.
Ansatz: Denke an eine Badewanne: \(r\) ist der Nettozufluss, \(B\) die Wassermenge.
Weiter: Wenn der Hahn am stärksten läuft, steigt das Wasser am schnellsten — voll ist die Wanne aber erst, wenn der Zufluss in einen Abfluss umschlägt.
A3
Die Regentonne
AFB I
In einer Regentonne sind zu Beginn eines Schauers \(20\) L Wasser. Während des Schauers fließt Wasser mit der Rate \(r(t)=0{,}3t^2\) zu (\(t\) in min, \(r\) in \(\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\)). Berechnen Sie, wie viel Wasser nach \(10\) Minuten in der Tonne ist.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(B(10)=20+\int_0^{10}0{,}3t^2\,\mathrm{d}t=20+\big[0{,}1t^3\big]_0^{10}=20+100=120\) L. Wer \(100\) eingibt, hat nur die zugeflossene Menge berechnet — die \(20\) L vom Anfang gehören dazu.
Ansatz: Bestand am Ende = Bestand am Anfang + Integral der Rate.
Weiter: Eine Stammfunktion von \(0{,}3t^2\) ist \(0{,}1t^3\). Obere Grenze einsetzen, untere abziehen.
A4
Was verlangt die Frage?
AFB II
Gegeben ist jeweils eine Änderungsrate \(r(t)\). Ordnen Sie jede Frage danach ein, was man zu ihrer Beantwortung braucht.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1nur das Integral
2Anfangsbestand + Integral
3kein Integral nötig
„Wie viel …?“ und „Um wie viel …?“ fragen nach der Änderung — das Integral genügt. Steht ein Startwert im Text, ist der Bestand gefragt. Die Fragen nach dem „Wann“ zielen auf Stellen: Der Wasserstand ist maximal, wo \(r\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt; am schnellsten wächst die Pflanze, wo \(r\) selbst maximal ist (\(r'=0\), Kapitel 1).
Ansatz: Achte auf das Fragewort: Wird eine Menge, ein Stand oder ein Zeitpunkt gesucht?
Weiter: Einen Stand kann man nur angeben, wenn man weiß, wo man gestartet ist. Einen Zeitpunkt findet man an Nullstellen oder Extremstellen von \(r\).
A5
Rechenkette: der Download
AFB IIMix
Beim Laden eines Updates beträgt die Datenrate \(r(t)=-0{,}5t^2+6t\) (\(t\) in s, \(r\) in \(\tfrac{\text{MB}}{\text{s}}\)), bis sie nach \(12\) s auf null fällt. Ermitteln Sie Schritt für Schritt die gesuchten Größen.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
größte DatenrateMB/s
Größe des UpdatesMB
geladen nach \(6\) sMB
mittlere Datenrate über die \(12\) sMB/s
Schritt 1 ist Kapitel 1: \(r'(t)=-t+6=0\) bei \(t=6\), \(r(6)=18\). Mit \(R(t)=-\tfrac16t^3+3t^2\): \(R(12)=-288+432=144\) MB und \(R(6)=72\) MB — genau die Hälfte, weil der Graph von \(r\) symmetrisch zu \(t=6\) ist. Mittlere Rate \(\tfrac{144}{12}=12\,\tfrac{\text{MB}}{\text{s}}\), nicht der Mittelwert \(\tfrac{0+18}{2}=9\).
Ansatz: Maximum von \(r\): \(r'(t)=0\). Datenmenge: \(\int_0^{12}r(t)\,\mathrm{d}t\).
Weiter: Die mittlere Rate ist die Gesamtmenge geteilt durch die Gesamtzeit — so, als wäre die ganze Zeit gleich schnell geladen worden.
A6
Lückentext: Ergebnis deuten
AFB II
Aus einem Stausee wird Wasser abgelassen; die Rate \(r(t)\) ist in \(\tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}\) gegeben, \(t\) in h. Nennen Sie die fehlenden Wörter — eines bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Das Integral \(\int_0^{24}r(t)\,\mathrm{d}t\) hat die Einheit . Es beschreibt die des Wasservolumens an diesem Tag. Um das Volumen am Abend zu erhalten, addiert man den . Ist das Integral negativ, hat das Volumen insgesamt . Findet man zu \(r\) keine Stammfunktion, berechnet der GTR den Wert .
„m³/h“ bleibt übrig: Das ist die Einheit der Rate. Beim Integrieren wird mit der Zeit in h multipliziert, das „pro Stunde“ fällt weg.
Ansatz: Rate mal Zeit: \(\tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}\cdot\text{h}\).
Weiter: \(B(b)=B(a)+\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t\) — welcher Summand ist nicht das Integral?
A7
Bestand mit dem CAS
AFB II
Ein Heizöltank enthält am 1. Oktober \(2400\) L; der Verbrauch wird durch eine Rate \(r(t)\) beschrieben. Mit dem TI-Nspire CX CAS soll der Füllstand nach \(90\) Tagen bestimmt werden. Stellen Sie das Vorgehen in der richtigen Reihenfolge dar.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Im Calculator die Integralvorlage öffnen: menu 4 (Analysis) 3 (Integral)
2mit tab untere Grenze \(0\) und obere Grenze \(90\) eintragen
3Term der Rate und im letzten Feld die Variable \(t\) eintragen
4mit ctrlenter den Dezimalwert der Gesamtänderung berechnen
5den Verbrauch von \(2400\) L abziehen und den Füllstand mit Einheit angeben
Der Rechner liefert nur die Änderung; der letzte Schritt bleibt Kopfarbeit. Häufigster Fehler im CAS: im letzten Feld \(x\) statt \(t\) stehen lassen — dann behandelt das CAS \(t\) als Konstante. Am Casio fx-CG50 heißt der Weg: RUN-MAT, OPTNF4 (CALC) F4 (∫dx), Term mit X,θ,T.
Ansatz: Erst braucht man die Vorlage, dann füllt man sie aus, dann rechnet man.
Weiter: In der Vorlage wandert tab von den Grenzen zum Term und zuletzt zum \(\mathrm{d}\ldots\)-Feld. Der Bestand kommt ganz am Ende.
A8
Trickaufgabe: ein Tag im Speicherbecken
AFB IIITrickMix
In ein Speicherbecken mit anfangs \(300\,\text{m}^3\) Wasser wird tagsüber gepumpt, nachts läuft Wasser ab. Die Änderungsrate ist \(r(t)=40\sin\!\left(\tfrac{\pi}{12}t\right)\) (\(t\) in h, \(r\) in \(\tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}\)). Bestimmen Sie das Wasservolumen nach \(24\) Stunden.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Periode von \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{12}t\right)\) ist \(24\) h: Von \(0\) bis \(12\) fließen \(\tfrac{960}{\pi}\approx306\,\text{m}^3\) zu, von \(12\) bis \(24\) genauso viel ab. \(\int_0^{24}r(t)\,\mathrm{d}t=0\), also sind wieder \(300\,\text{m}^3\) im Becken. Rechnerisch mit 2.2.3: \(R(t)=-\tfrac{480}{\pi}\cos\!\left(\tfrac{\pi}{12}t\right)\) und \(R(24)-R(0)=0\).
Ansatz: Skizziere \(r\) über einen Tag: Wann ist \(r\) positiv, wann negativ?
Weiter: Die Fläche über der t-Achse und die unter der t-Achse sind gleich groß. Was bleibt vom Integral übrig — und was vom Bestand?
A9
Fehlersuche: Wirkstoff im Blut
AFB III
Bei einer Infusion ändert sich die Wirkstoffmenge im Blut mit \(r(t)=12-4t\) (\(t\) in h, \(r\) in \(\tfrac{\text{mg}}{\text{h}}\)) für \(0\le t\le6\); zu Beginn sind \(10\) mg im Blut. Überprüfen Sie die sechs Sätze — drei sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 6 ist tückisch, weil das Ergebnis \(10\) zufällig dem Anfangsbestand gleicht. Der häufigste Klausurfehler ist Zeile 3: Ein Integral von null heißt „keine Änderung“, nicht „nichts mehr da“.
Ansatz: Eine Stammfunktion ist \(R(t)=12t-2t^2\). Rechne \(R(3)\), \(R(5)\), \(R(6)\) selbst nach.
Weiter: Prüfe in jeder Zeile: Wird ein Bestand genannt? Dann muss \(B(0)=10\) mg drinstecken. Und stimmt die Einheit?
A10
Was passiert mit dem Endbestand?
AFB III
Ein Becken enthält \(200\) L; zehn Minuten lang fließt Wasser mit \(r(t)=6t\) (in \(\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\)) zu, danach sind \(500\) L im Becken. Schätzen Sie für jede Änderung ab, wie sich der Endbestand verändert — ohne genau zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel kleiner, 2 = etwas kleiner, 3 = bleibt gleich, 4 = etwas größer, 5 = viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viel kleiner5 = viel größer
\(250\) L statt \(200\) L am Anfang
doppelte Rate: \(r(t)=12t\)
zusätzlich ein Abfluss von \(30\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\): \(r(t)=6t-30\)
zeitlich gespiegelt: \(r(t)=6(10-t)\), erst schnell, dann langsam
kleines Leck von \(5\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\): \(r(t)=6t-5\)
Die Dreiecksfläche unter \(6t\) ist \(300\) L. Anfang \(+50\): \(550\) L. Doppelte Rate: doppelte Fläche, \(800\) L. Abfluss \(30\cdot10=300\) L frisst den ganzen Zufluss: \(200\) L. Gespiegelte Rate: gleiches Dreieck, andere Richtung — \(500\) L. Leck: \(50\) L weniger, \(450\) L.
Ansatz: Zeichne den Graphen von \(r\): Die Fläche darunter ist ein Dreieck mit Grundseite \(10\) und Höhe \(60\).
Weiter: Ein konstanter Abfluss von \(c\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\) nimmt in \(10\) min genau \(10c\) Liter weg. Eine gespiegelte Fläche ist gleich groß.
