Autos im Parkhaus
AFB I–IIAn einem Werktag wird die Belegung eines Parkhauses in der Innenstadt beobachtet. Die Änderungsrate der Anzahl parkender Autos wird für \(0\le t\le10\) modelliert durch
\(r(t)=-6t^2+60t-96\)
mit \(t\) in Stunden nach 6:00 Uhr und \(r(t)\) in Autos pro Stunde (Material). Positive Werte bedeuten, dass mehr Autos ein- als ausfahren. Um 6:00 Uhr stehen \(150\) Autos im Parkhaus; es hat \(300\) Stellplätze.
- hilfsmittelfrei Beschreiben Sie anhand des Materials, wie sich die Anzahl der Autos im Parkhaus zwischen 6:00 und 16:00 Uhr entwickelt. 3 BE
- hilfsmittelfrei Stellen Sie einen Term für die Anzahl \(B(t)\) der Autos im Parkhaus auf. 4 BE
- hilfsmittelfrei Berechnen Sie, wie viele Autos um 8:00 Uhr und um 14:00 Uhr im Parkhaus stehen. 3 BE
- hilfsmittelfrei Begründen Sie, dass das Parkhaus im betrachteten Zeitraum nie voll ist. 4 BE
Insgesamt 14 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Von 6 bis 8 Uhr ist \(r(t)<0\): Es fahren mehr Autos hinaus als hinein, die Anzahl sinkt (zu Beginn um etwa 96 Autos pro Stunde, dann langsamer).
Von 8 bis 14 Uhr ist \(r(t)>0\): Die Anzahl steigt, am schnellsten um 11 Uhr mit \(54\) Autos pro Stunde. Ab 14 Uhr ist \(r\) wieder negativ, die Anzahl nimmt immer schneller ab.
Die Anzahl ist also um 8 Uhr am kleinsten und um 14 Uhr am größten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(B(t)=150+\displaystyle\int_0^t\big(-6s^2+60s-96\big)\,\mathrm{d}s=150+\big[-2s^3+30s^2-96s\big]_0^t\)
\(B(t)=-2t^3+30t^2-96t+150\).
Probe: \(B'(t)=r(t)\) und \(B(0)=150\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(B(2)=-16+120-192+150=62\).
\(B(8)=-1024+1920-768+150=278\).
Um 8:00 Uhr stehen \(62\) Autos, um 14:00 Uhr \(278\) Autos im Parkhaus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(B\) wächst nur, solange \(r(t)>0\) ist. Auf \([0;10]\) wechselt \(r\) nur bei \(t=8\) von \(+\) nach \(-\); dort liegt das lokale Maximum \(B(8)=278\).
Randwerte: \(B(0)=150\), \(B(10)=-2000+3000-960+150=190\).
Der größte Wert im ganzen Zeitraum ist also \(278<300\): Das Parkhaus ist nie voll, mindestens \(22\) Plätze bleiben immer frei.
Der Batteriespeicher
AFB II–IIIEin Einfamilienhaus hat eine Solaranlage und einen Batteriespeicher mit \(10\,\text{kWh}\) Kapazität. An einem sonnigen Tag wird die Leistung der Solaranlage beschrieben durch
\(p(t)=3\cdot e^{-0{,}1\,(t-13)^2}\)
(\(t\) in Stunden nach Mitternacht, \(p\) in kW). Der Haushalt verbraucht ständig \(0{,}8\,\text{kW}\). Überschüssige Leistung lädt die Batterie, fehlende Leistung wird aus der Batterie entnommen. Die Änderungsrate des Ladestands ist damit \(r(t)=p(t)-0{,}8\) (in kW). Um 6:00 Uhr enthält die Batterie \(2\,\text{kWh}\).
- GTR/CAS Ermitteln Sie die Uhrzeiten, zu denen die Batterie weder geladen noch entladen wird. 4 BE
- GTR/CAS Bestimmen Sie den Ladestand der Batterie um 18:00 Uhr. 3 BE
- GTR/CAS Deuten Sie den Wert \(\int_{9{,}36}^{16{,}64}r(t)\,\mathrm{d}t\) im Sachzusammenhang und schließen Sie daraus auf den höchsten Ladestand des Tages. 4 BE
- Beurteilen Sie, ob die Kapazität des Speichers an diesem Tag ausreicht und ob die gespeicherte Energie den Haushalt bis 6:00 Uhr am nächsten Morgen versorgen kann. Nachts liefert die Solaranlage keine nennenswerte Leistung. 5 BE
Insgesamt 16 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
3e^(−0.1(X−13)²)−0.8, dann SHIFT F5 (G-Solv) F1 (ROOT), mit ► zur zweiten Nullstelle. TI-Nspire CX CAS: solve(3·e^(−0.1·(t−13)^2)−0.8=0,t).Hinweis zu Aufgabe b)
∫(3e^(−0.1(X−13)²)−0.8,6,18). TI-Nspire: Integralvorlage über menu 4 3, Variable \(t\).Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(r(t)=0\iff e^{-0{,}1(t-13)^2}=\tfrac{0{,}8}{3}\iff(t-13)^2=10\ln\tfrac{15}{4}\), also \(t=13\pm\sqrt{10\ln3{,}75}\) (GTR/CAS): \(t_1\approx9{,}36\) und \(t_2\approx16{,}64\).
Die Batterie wird um etwa 9:22 Uhr und um etwa 16:38 Uhr weder geladen noch entladen. Dazwischen wird sie geladen, davor und danach entladen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\displaystyle\int_6^{18}r(t)\,\mathrm{d}t=\int_6^{18}p(t)\,\mathrm{d}t-0{,}8\cdot12\approx16{,}59-9{,}60\approx6{,}99\) (GTR/CAS).
\(B(18)\approx2+6{,}99\approx8{,}99\). Um 18:00 Uhr enthält die Batterie etwa \(9{,}0\,\text{kWh}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\int_{9{,}36}^{16{,}64}r(t)\,\mathrm{d}t\approx9{,}25\) (in kWh): So viel Energie wird in der Ladephase zwischen etwa 9:22 und 16:38 Uhr netto in die Batterie geladen — die gelbe Fläche im Material.
Vorher wird entladen, danach ebenfalls; der Ladestand ist also bei \(t_2\) am höchsten. Mit \(B(9{,}36)=2+\int_6^{9{,}36}r(t)\,\mathrm{d}t\approx2-1{,}83\approx0{,}17\) folgt \(B(16{,}64)\approx0{,}17+9{,}25\approx9{,}42\). Der höchste Ladestand beträgt etwa \(9{,}4\,\text{kWh}\) um 16:38 Uhr.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Kapazität: \(9{,}4\,\text{kWh}<10\,\text{kWh}\) — an diesem Tag geht keine Solarenergie verloren; die Reserve ist mit etwa \(0{,}6\,\text{kWh}\) aber klein. An einem noch sonnigeren Tag würde der Speicher voll.
Nacht: \(B(24)=2+\int_6^{24}r(t)\,\mathrm{d}t\approx4{,}40\,\text{kWh}\). Bei \(0{,}8\,\text{kW}\) reicht das \(\tfrac{4{,}40}{0{,}8}=5{,}5\) Stunden, also nur bis etwa 5:30 Uhr — eine halbe Stunde fehlt, der Haushalt muss ab dann Netzstrom beziehen.
Außerdem fällt der Ladestand schon am Morgen auf etwa \(0{,}17\,\text{kWh}\) (9:22 Uhr, siehe c). Urteil: Die Kapazität reicht, die gespeicherte Energie für die Nacht knapp nicht. Zu bewerten ist, ob Rechnung, Vergleich mit \(10\,\text{kWh}\) und die Nachtbilanz zu einem begründeten Gesamturteil zusammengeführt werden; Modellgrenzen (konstanter Verbrauch, ein idealer Sonnentag) dürfen genannt werden.