MINT lernen

Integrale im Sachkontext

Der Tacho kennt nur das momentane Tempo — und trotzdem weiß der Kilometerzähler auf den Meter genau, wie weit du gefahren bist.

1

Bestand rekonstruieren mit dem Integral

In 2.1.2 hast du Bestände aus Rechteck- und Trapezflächen zurückgewonnen — mit dem Hauptsatz geht das jetzt für jede Änderungsrate.

  • Gesamtänderung:\(\displaystyle\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t=B(b)-B(a)\) — um so viel ändert sich der Bestand von \(t=a\) bis \(t=b\).
  • Bestand:Bestand am Anfang plus Gesamtänderung — ohne \(B(a)\) kennt man nur die Änderung, nicht den Bestand.
  • Einheit:Einheit der Rate mal Einheit der Zeit, z. B. \(\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\text{s}=\text{m}\) oder \(\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\cdot\text{min}=\text{L}\).
  • Vorzeichen:Abschnitte mit \(r(t)<0\) (Abfluss, Abbau) verringern den Bestand; ein negatives Integral heißt: insgesamt Abnahme.
  • Deutung:Ergebnis mit Einheit in einem Satz zum Kontext, z. B. „Von 8 bis 10 Uhr fließen 126 L zu.“

Ziehe den Punkt auf dem Geschwindigkeitsgraphen (oder Pfeiltasten) oder starte die Fahrt. Vergleiche die blaue Fläche unter \(v\) mit der orangen Spur, die das Rad auf der Straße abrollt.

Das Rad rollt die Fläche ab

Halte fest: Die Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen von \(0\) bis \(t_1\) ist die abgerollte Strecke \(\int_0^{t_1} v(t)\,\mathrm{d}t\) — der Zähler zeigt Anfangsstand plus diese Fläche.

Herleitung:

\(\displaystyle\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t=\big[B(t)\big]_a^b\)
auswerten
\(B'=r\): Der Bestand ist eine Stammfunktion der Änderungsrate (Hauptsatz, 2.3.1).
\(\displaystyle\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t=B(b)-B(a)\)
\(+\,B(a)\)
Obere minus untere Grenze eingesetzt.
\(B(b)=B(a)+\displaystyle\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t\)
Ergebnis
Nach dem gesuchten Bestand \(B(b)\) aufgelöst.
Merke

Rekonstruierter Bestand: \(B(b)=B(a)+\displaystyle\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t\)

2

Mit GTR und CAS

Findet man keine Stammfunktion oder soll es schnell gehen, liefert der Rechner den Integralwert numerisch.

  • GTR · RUN-MAT:OPTN F4 (CALC) F4 (∫dx), Term mit X,θ,T eingeben, mit ► zur unteren Grenze, mit ▲ zur oberen, EXE. In linearer Eingabe: ∫(Term,a,b).
  • GTR · GRAPH:Rate als Y1 zeichnen, SHIFT F5 (G-SOLVE) F6 (▷) F3 (∫dx) F1 (∫dx); untere Grenze eintippen, EXE, obere Grenze eintippen, EXE — Wert erscheint, Fläche wird gefärbt.
  • CAS:im Calculator menu 4 (Analysis) 3 (Integral); mit tab untere Grenze, obere Grenze, Term und Variable füllen, enter — ctrl enter liefert den Dezimalwert.
  • Gesuchte Grenze:im CAS die obere Grenze als Variable \(x\) stehen lassen und solve(Integral = Wert, x) eingeben.
  • Beispiel:Zufluss \(r(t)=20\cdot e^{-0{,}1t}\) (\(t\) in min, \(r\) in \(\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\)), im Becken sind anfangs \(B(0)=50\) L.
  • Rechner:\(\displaystyle\int_0^{10}20\,e^{-0{,}1t}\,\mathrm{d}t\approx126{,}4\), also \(B(10)\approx50+126{,}4=176{,}4\) — nach 10 min sind etwa 176 L im Becken.
  • Gesuchte Grenze:solve(∫(20·e^(−0.1t),t,0,x)=100,x) liefert \(x\approx6{,}93\) — nach knapp 7 min sind 100 L zugeflossen.
3

Allgemeine Hinweise

Integral ist nicht der Bestand

\(\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t\) liefert nur die Änderung. Wird nach dem Bestand gefragt, muss \(B(a)\) noch addiert werden.

Einheiten vorher angleichen

Ist \(v\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) gegeben, die Zeit aber in Minuten, erst umrechnen — sonst ist das Ergebnis um den Faktor 60 falsch.

Variable im Rechner

Der GTR integriert immer nach X, auch wenn die Rate \(r(t)\) heißt. Im CAS gehört die Variable ins letzte Feld der Vorlage, also \(\mathrm{d}t\).

Videos