Rechtecke, Dreiecke, Trapeze — und das Vorzeichen: zehn Übungen, in denen aus Raten wieder Bestände werden.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Was liefert die Fläche?
AFB I
Der Graph einer Änderungsrate \(r\) und die \(t\)-Achse schließen Flächen ein. Nennen Sie alle zutreffenden Aussagen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Flächen liefern nur die Änderung — ohne Anfangsbestand kennt man den Bestand nicht. Abfluss (Graph unter der Achse) wird abgezogen. Die Einheit der Fläche ist „Einheit von \(r\) mal Einheit von \(t\)“: \(\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\cdot\text{h}\) ist erst nach Umrechnen (\(1\,\text{h}=60\,\text{min}\)) eine Literzahl.
Ansatz: Formuliere für jede Aussage: Liefert die Fläche den Bestand oder die Änderung?
Weiter: Für die Einheiten: Multipliziere die Einheit der Rate mit der Einheit der Zeit. Kürzt sich die Zeiteinheit weg?
A2
Blitzrechnung: Förderband
AFB I
Auf einer Kieshalde liegen 5 t Kies. Ein Förderband schüttet konstant \(1{,}8\,\tfrac{\text{t}}{\text{h}}\) dazu. Berechnen Sie, wie viele Tonnen nach 40 Minuten auf der Halde liegen.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Erst die Einheiten angleichen: \(40\,\text{min}=\tfrac23\,\text{h}\). Rechteckfläche \(1{,}8\cdot\tfrac23=1{,}2\) t, dazu der Anfangsbestand: \(5+1{,}2=6{,}2\) t. Kopfrechentrick: \(1{,}8\) t pro Stunde sind \(0{,}03\) t pro Minute, mal 40 ergibt \(1{,}2\). Wer \(1{,}8\cdot40\) rechnet, erhält die unsinnigen 77 t.
Ansatz: Rate mal Dauer — aber die Rate ist pro Stunde angegeben.
Weiter: \(40\,\text{min}=\tfrac{40}{60}\,\text{h}\). Den Anfangsbestand von 5 t nicht vergessen.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I
Geben Sie die fehlenden Fachbegriffe an — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Bei konstanter ist die Änderung des Bestands „Rate mal Dauer“. Verläuft die Rate auf einem Abschnitt linear, ist die Fläche darunter ein Dreieck oder ein . Flächen unterhalb der \(t\)-Achse zählen . Die Fläche hat stets die des Bestands. Den Bestand selbst erhält man erst, wenn man zur Summe der orientierten Flächen den addiert
Eine Nullstelle der Rate teilt zwar oft die Fläche in einen positiven und einen negativen Teil, sie gehört aber in keine der Lücken — an ihr ändert sich der Bestand nur für einen Moment nicht.
Ansatz: Lies den Text einmal ganz und überlege, welche Größe jeweils gemeint ist.
Weiter: Die letzte Lücke ist das, was die Flächen nicht liefern können: den Wert zum Startzeitpunkt.
A4
Ladestand eines Handy-Akkus
AFB II
Ein Handy wird geladen und danach benutzt. Der Graph zeigt die Änderungsrate \(r\) des Ladestands (in Prozentpunkten pro Minute). Zu Beginn zeigt der Akku \(15\,\%\). Bestimmen Sie den Ladestand \(B\) (in %) zu den angegebenen Zeitpunkten.
Änderungsrate \(r\) des Ladestands; bei \(t=40\) wird das Ladekabel abgezogen.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen.
\(t\) in min
20
40
50
60
\(B(t)\) in %
Bis 20 min: Rechteck \(2\cdot20=40\), also \(55\,\%\). Von 20 bis 40 min: Trapez \(\tfrac{2+0{,}5}{2}\cdot20=25\), also \(80\,\%\). Danach Rechtecke unter der Achse: je 10 min \(-10\), also \(70\,\%\) und \(60\,\%\). Typischer Fehler im Trapez: nur mit der Endhöhe \(0{,}5\) oder nur mit \(2\) rechnen.
Ansatz: Zerlege die Fläche in ein Rechteck, ein Trapez und ein Rechteck unter der Achse.
Weiter: Trapez: \(\tfrac{a+c}{2}\cdot h\) mit \(a=2\), \(c=0{,}5\), \(h=20\). Jede neue Zeile baut auf der vorherigen auf.
A5
Rechenkette: Mensa
AFB II
Mittags wird die Änderungsrate \(r\) der Zahl der Schülerinnen und Schüler in der Mensa gemessen (Personen pro Minute, \(t\) in min nach Öffnung, zu Beginn ist die Mensa leer): Von \(t=0\) bis \(t=10\) steigt \(r\) linear von 0 auf 12, bis \(t=20\) bleibt \(r=12\), danach fällt \(r\) linear bis \(t=30\) auf \(-18\). Ermitteln Sie die Belegung Schritt für Schritt.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
\(B(10)\) in Personen
\(B(20)\) in Personen
Zeitpunkt mit der höchsten Belegungmin
höchste Belegung in Personen
\(B(30)\) in Personen
Dreieck \(\tfrac12\cdot10\cdot12=60\), Rechteck \(10\cdot12=120\). Ab \(t=20\) fällt \(r\) um 3 pro Minute, erreicht also bei \(t=24\) den Wert 0 — dort wechselt \(r\) von \(+\) nach \(-\) und die Belegung ist am höchsten: \(180+\tfrac12\cdot4\cdot12=204\). Danach ein Dreieck unter der Achse: \(\tfrac12\cdot6\cdot18=54\), also \(204-54=150\). Wer bis \(t=30\) nur die Fläche einer Trapezform „von 12 auf \(-18\)“ nimmt, muss sie orientiert rechnen: \(\tfrac{12+(-18)}{2}\cdot10=-30\) ergibt ebenfalls 150.
Ansatz: Zeichne dir den Graphen von \(r\) grob auf und zerlege die Fläche in Dreiecke und Rechtecke.
Weiter: Die Nullstelle der Rate liegt dort, wo die fallende Gerade von 12 auf \(-18\) die Achse schneidet: Sie fällt um 30 in 10 Minuten, also um 3 pro Minute.
A6
Der Weg zum Bestand
AFB II
Aus dem Graphen einer Änderungsrate soll ein Bestand zu einem Zeitpunkt \(t_1\) rekonstruiert werden. Stellen Sie das Vorgehen in einer sinnvollen Reihenfolge dar.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Einheiten von Rate und Zeit angleichen
2Fläche von 0 bis t₁ in Rechtecke, Dreiecke und Trapeze zerlegen
3Flächeninhalte der Teilflächen berechnen
4Vorzeichen festlegen: über der Achse +, unter der Achse −
5Summe der orientierten Flächen zum Anfangsbestand addieren
Am häufigsten verrutscht der letzte Schritt nach vorn oder fällt ganz weg: Die Flächensumme ist nur die Änderung. Das Angleichen der Einheiten gehört an den Anfang — sonst rechnet man alle Flächen mit der falschen Zeiteinheit.
Ansatz: Was muss geklärt sein, bevor man überhaupt eine Fläche ausrechnen kann?
Weiter: Erst zerlegen, dann rechnen, dann Vorzeichen — und zum Schluss das, was nicht in der Fläche steckt.
A7
Bilanz mit drei Flächen
AFB IIMix
Ein Bestand hat \(B(0)=20\). Zwischen dem Graphen der Rate und der \(t\)-Achse liegen drei Flächen: \(12\) über der Achse auf \([0;\,2]\), \(8\) unter der Achse auf \([2;\,5]\) und \(6\) über der Achse auf \([5;\,6]\). Ordnen Sie jeder Frage den passenden Wert zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Der kleinste Bestand liegt am Rand: \(B(0)=20\) ist kleiner als der Tiefpunkt \(B(5)=24\) — genau wie in 2.1.1 müssen die Ränder mitgeprüft werden. Der größte Bestand liegt dagegen im Inneren bei \(t=2\) (Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)), denn \(B(6)=30<32\).
Ansatz: Rechne nacheinander: \(B(2)=20+12\), dann \(B(5)=B(2)-8\), dann \(B(6)=B(5)+6\).
Weiter: Für Extremwerte alle Kandidaten vergleichen: die Stellen mit Vorzeichenwechsel und die beiden Ränder.
A8
Mehr, weniger oder gleich viel?
AFB III
Vergleichen Sie jeweils den Bestand am Ende mit dem am Anfang des angegebenen Zeitraums.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1am Ende mehr
2am Ende weniger
3gleich viel
Nur die Bilanz zählt: \(t-1\) auf \([0;4]\) gibt \(-\tfrac12+\tfrac92=4\), \(t-3\) gibt \(-\tfrac92+\tfrac12=-4\), \(2-t\) gibt \(2-2=0\). Bei „erst Zufluss, dann Abfluss“: \(20-24=-4\). Der Bestand kann zwischendurch deutlich größer gewesen sein — daraus folgt nichts für das Ende.
Ansatz: Zeichne jede lineare Rate kurz und bestimme die Nullstelle: Wie groß sind die Dreiecke über und unter der Achse?
Weiter: Bei \(r(t)=t-1\) auf \([0;4]\): Dreieck unter der Achse mit Fläche \(\tfrac12\cdot1\cdot1\), darüber \(\tfrac12\cdot3\cdot3\).
A9
Fehlersuche: Fußballstadion
AFB III
Mia rekonstruiert die Zahl der Personen in einem Stadion. Vor dem Einlass sind 1200 Personen (Personal) im Stadion. Ihre Daten: 30 min lang kommen 400 Personen pro Minute, danach fällt die Rate in 15 min linear auf 0, während des Spiels (90 min) ist sie 0, danach verlassen 20 min lang 750 Personen pro Minute das Stadion. Überprüfen Sie Mias Rechnung.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Klausurfehler ist Zeile 4 bzw. 6: Abfluss als positive Fläche addieren. Der zweithäufigste: ein Dreieck wie ein Rechteck berechnen (Zeile 2).
Ansatz: Skizziere den Graphen der Rate: Welche Form hat jede Teilfläche, und liegt sie über oder unter der Achse?
Weiter: Lineares Absinken auf 0 ergibt ein Dreieck. Personen, die gehen, verringern den Bestand.
A10
Trickaufgabe: Wieder wie am Anfang
AFB IIITrick
In einer Schleusenkammer ändert sich der Wasserstand mit der Rate \(r(t)=4-2t\) (in cm pro min, \(t\) in min). Untersuchen Sie, zu welchem Zeitpunkt \(t>0\) der Wasserstand wieder genauso hoch ist wie bei \(t=0\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Nullstelle \(t=2\) ist nicht die Antwort — dort ist der Wasserstand am höchsten. Gleicher Stand heißt: Bilanz null. Bis \(t=2\) liegt ein Dreieck mit Inhalt \(\tfrac12\cdot2\cdot4=4\) über der Achse; darunter muss ein gleich großes Dreieck entstehen: \(\tfrac12\cdot s\cdot2s=s^2=4\Rightarrow s=2\). Also \(t=2+2=4\) min.
Ansatz: Gleicher Wasserstand heißt: Die orientierte Fläche von 0 bis \(t\) ist null.
Weiter: Das Dreieck über der Achse hat den Inhalt 4. Wie weit muss man nach \(t=2\) gehen, bis das Dreieck unter der Achse (Höhe \(2s\) nach \(s\) Minuten) ebenfalls 4 ist?
