Batteriespeicher im Einfamilienhaus
AFB I–IIEin Haus mit Solaranlage besitzt einen Batteriespeicher. Material M1 zeigt für einen Sommertag die Leistung \(P\), mit der der Speicher geladen (\(P>0\)) bzw. entladen (\(P<0\)) wird. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden nach 6 Uhr und \(P(t)\) in Kilowatt (kW) angegeben. Die Energie im Speicher wird in Kilowattstunden (kWh) gemessen.
Um 6 Uhr enthält der Speicher \(2\,\text{kWh}\). Die gesamte Aufgabe 1 ist ohne Hilfsmittel zu bearbeiten.
- Geben Sie die Zeiträume an, in denen der Speicher geladen bzw. entladen wird. 2 BE
- Berechnen Sie die Energie im Speicher um 12 Uhr. 4 BE
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Speicher am meisten Energie enthält, und diese Energiemenge. 4 BE
- Zeigen Sie, dass der Speicher um 22 Uhr wieder genauso viel Energie enthält wie um 6 Uhr. 3 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Geladen wird von 6 bis 13 Uhr (\(0<t<7\), \(P>0\)), entladen von 13 bis 20 Uhr (\(7<t<14\), \(P<0\)). Von 20 bis 22 Uhr ist \(P=0\): Die Energie bleibt konstant.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Dreieck von \(t=0\) bis \(t=2\): \(\tfrac12\cdot2\,\text{h}\cdot1{,}5\,\text{kW}=1{,}5\,\text{kWh}\). Rechteck von \(t=2\) bis \(t=6\): \(4\,\text{h}\cdot1{,}5\,\text{kW}=6\,\text{kWh}\).
\(E(6)=2+1{,}5+6=9{,}5\,\text{kWh}\). Um 12 Uhr enthält der Speicher \(9{,}5\,\text{kWh}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bis \(t=7\) (13 Uhr) ist \(P>0\), danach \(P<0\): Bei \(t=7\) wechselt \(P\) von \(+\) nach \(-\), dort ist die Energie am größten. Die Ränder scheiden aus (um 6 Uhr 2 kWh, um 22 Uhr siehe d).
Dreieck von \(t=6\) bis \(t=7\): \(\tfrac12\cdot1\cdot1{,}5=0{,}75\,\text{kWh}\). Also \(E(7)=9{,}5+0{,}75=10{,}25\,\text{kWh}\) um 13 Uhr.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Fläche über der Achse (\(0\le t\le7\)): \(1{,}5+6+0{,}75=8{,}25\,\text{kWh}\). Fläche unter der Achse (\(7\le t\le14\)): Dreieck \(0{,}75\), Rechteck \(4\cdot1{,}5=6\), Dreieck \(\tfrac12\cdot2\cdot1{,}5=1{,}5\), zusammen \(8{,}25\,\text{kWh}\), orientiert also \(-8{,}25\). Von 20 bis 22 Uhr kommt nichts hinzu.
\(E(16)=2+8{,}25-8{,}25=2\,\text{kWh}\) — genauso viel wie um 6 Uhr. (Alternativ: Der Graph ist punktsymmetrisch zu \((7\,|\,0)\), die Flächen sind deckungsgleich.)
Getreidesilo in der Erntezeit
AFB II–IIIIn ein Getreidesilo wird während der Ernte Weizen angeliefert, gleichzeitig wird Weizen mit Lkw abtransportiert. Die Änderungsrate \(r\) der Weizenmenge im Silo wurde an einem Erntetag alle zwei Stunden bestimmt (Material M2); \(t\) ist die Zeit in Stunden nach 6 Uhr. Zwischen den Messzeitpunkten wird \(r\) als linear angenommen.
Um 6 Uhr befinden sich \(120\,\text{t}\) Weizen im Silo. Es fasst höchstens \(400\,\text{t}\). Für b) bis d) ist ein GTR oder CAS zugelassen (z. B. Listen oder Tabellen), a) ist ohne Hilfsmittel zu bearbeiten.
| \(t\) in h | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Uhrzeit | 6 Uhr | 8 Uhr | 10 Uhr | 12 Uhr | 14 Uhr | 16 Uhr | 18 Uhr |
| \(r(t)\) in t/h | 10 | 30 | 50 | 40 | 10 | −20 | −40 |
- Erläutern Sie, warum unter der Annahme eines linearen Verlaufs zwischen den Messzeitpunkten die Änderung der Weizenmenge in jedem Zwei-Stunden-Abschnitt exakt als Trapezfläche \(\tfrac{r(t_1)+r(t_2)}{2}\cdot2\) berechnet werden kann — auch im Abschnitt von \(t=8\) bis \(t=10\). 4 BE
- Ermitteln Sie die Weizenmenge im Silo um 18 Uhr. 4 BE
- Untersuchen Sie, zu welcher Uhrzeit das Silo am vollsten ist, und bestimmen Sie die größte Weizenmenge. 5 BE
- Für den nächsten Tag wird erwartet, dass alle positiven Messwerte um \(20\,\%\) höher ausfallen; die negativen bleiben gleich, und um 6 Uhr sind wieder \(120\,\text{t}\) im Silo. Beurteilen Sie, ob das Silo dann ausreicht. 5 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Änderung der Menge ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von \(r\) und der \(t\)-Achse. Ist \(r\) auf einem Abschnitt linear, ist diese Fläche ein Trapez mit den parallelen Seiten \(r(t_1)\) und \(r(t_2)\) und der Höhe 2 — die Formel ist dann exakt, keine Näherung.
Von 8 bis 10 h fällt \(r\) von 10 auf \(-20\) und ist bei \(t=8\tfrac23\) null. Die orientierte Fläche besteht aus einem Dreieck \(\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot10=\tfrac{10}{3}\) über und einem Dreieck \(\tfrac12\cdot\tfrac43\cdot20=\tfrac{40}{3}\) unter der Achse, zusammen \(-10\). Die Trapezformel liefert ebenfalls \(\tfrac{10+(-20)}{2}\cdot2=-10\): Sie rechnet mit Vorzeichen und gilt deshalb auch bei einem Vorzeichenwechsel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Änderungen je Abschnitt (in t): \(40,\ 80,\ 90,\ 50,\ -10,\ -60\). Bestände:
| \(t\) in h | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Menge in t | 120 | 160 | 240 | 330 | 380 | 370 | 310 |
Um 18 Uhr (\(t=12\)) sind \(120+40+80+90+50-10-60=310\,\text{t}\) Weizen im Silo.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bis zur Nullstelle von \(r\) zwischen 8 und 10 h ist \(r>0\), danach \(r<0\); dort wechselt \(r\) von \(+\) nach \(-\), die Menge ist maximal. Die Ränder liefern weniger (120 t bzw. 310 t).
Gerade: \(r(t)=10-15\,(t-8)=0\Rightarrow t=8\tfrac23\), also um 14:40 Uhr. Menge: \(380+\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot10=380+\tfrac{10}{3}\approx383{,}3\,\text{t}\). Das Silo ist um 14:40 Uhr mit rund 383 t am vollsten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Neue Werte: \(12,\ 36,\ 60,\ 48,\ 12,\ -20,\ -40\). Bestände: \(B(2)=168\), \(B(4)=264\), \(B(6)=372\), \(B(8)=372+60=432\,\text{t}>400\,\text{t}\).
Die Grenze wird zwischen \(t=6\) und \(t=8\) überschritten: Dort ist \(r=48-18s\) (\(s\) in h nach \(t=6\)), die Menge \(372+48s-9s^2=400\) ergibt \(s=\tfrac23\), also um etwa 12:40 Uhr. Ohne Gegenmaßnahme stiege die Menge bis \(t=8{,}75\) auf \(436{,}5\,\text{t}\).
Urteil: Das Silo reicht nicht aus. Der Betreiber müsste ab etwa Mittag mehr Lkw einsetzen oder Anlieferungen verschieben, damit bis etwa 14:45 Uhr (\(t=8{,}75\)) zusätzlich mindestens rund 37 t abtransportiert werden. Einschränkend: Die Werte beruhen auf nur sieben Messungen und der Annahme eines linearen Verlaufs; eine Reserve ist deshalb sinnvoll. Vollständig ist die Antwort mit Rechnung, Zeitpunkt der Überschreitung und begründetem Urteil.