Änderung und Bestand: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Was der Ratengraph verrät

AFB I

Die Funktion \(r\) beschreibt die momentane Änderungsrate eines Bestands \(B\), also \(r=B'\). Nennen Sie alle Aussagen, die in jedem Fall stimmen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Das Maximum von \(r\) markiert den stärksten Zuwachs (Wendestelle von \(B\)), nicht den größten Bestand. Eine fallende, aber positive Rate lässt \(B\) weiter wachsen — nur langsamer. Und \(r\) legt nur die Form von \(B\) fest: Graphen, die sich um eine Verschiebung nach oben unterscheiden, haben dieselbe Rate.

Ansatz: Übersetze jede Aussage in die Sprache der Ableitung: \(r=B'\) ist die Steigung von \(B\).

Weiter: Was folgt aus \(B'>0\)? Was bedeutet ein Vorzeichenwechsel von \(B'\)? Und was bedeutet eine Extremstelle von \(B'\) für \(B\)? Zum Anfangsbestand: \(B\) und \(B+5\) haben dieselbe Ableitung.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Geben Sie zu jeder Behauptung über Rate und Bestand an, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die Rate beschreibt, wie schnell und in welche Richtung sich der Bestand ändert — über seine Höhe sagt sie nichts. Die Einheit ist immer „Einheit des Bestands pro Zeiteinheit“.

Ansatz: Trenne bei jeder Aussage: Geht es um den Bestand selbst oder um seine Änderung?

Weiter: Eine Rate von null oder eine negative Rate sagt nichts über die Höhe des Bestands. Für die letzte Aussage: Denke an \(B\) und \(B+c\).

A3

Welcher Bestandsgraph passt?

AFB II

In einem Parkhaus wird ab 7 Uhr (\(t=0\), \(t\) in h) die Änderungsrate \(r\) der Anzahl geparkter Autos erfasst (in 100 Autos pro Stunde). Um 7 Uhr stehen 400 Autos im Parkhaus. Vergleichen Sie die vier Graphen mit dem Ratengraphen und wählen Sie den Graphen des Bestands \(B\) (in 100 Autos) aus.

Änderungsrate \(r\) in 100 Autos pro Stunde

Klicke die passende Karte an und prüfe dann. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter auswählen.

Bis \(t=1\) ist \(r<0\): Anwohner fahren weg, der Bestand sinkt zuerst — das schließt A und C aus. Bei \(t=1\) wechselt \(r\) von \(-\) nach \(+\) (Minimum von \(B\)), bei \(t=5\) von \(+\) nach \(-\) (Maximum). Graph A ist der klassische Fehler: Er setzt den Hochpunkt dorthin, wo \(r\) am größten ist (\(t=3\)) — dort liegt aber nur die Wendestelle. D hat genau die falschen Vorzeichen.

Ansatz: Markiere im Ratengraphen die Nullstellen und die Vorzeichen dazwischen. Wo steigt, wo fällt \(B\)?

Weiter: Der Graph muss zuerst fallen (\(r<0\)), bei \(t=1\) einen Tiefpunkt und bei \(t=5\) einen Hochpunkt haben. Bei \(t=3\) ist er am steilsten.

A4

Was sagt diese Information über B?

AFB I

Über die Änderungsrate \(r\) eines Bestands \(B\) ist jeweils eine Information bekannt. Ordnen Sie jede Information der Eigenschaft von \(B\) zu, über die sie Auskunft gibt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Monotonie von B

2Extremstelle von B

3Wendestelle von B

Vorzeichen von \(r\) → Monotonie, Vorzeichenwechsel von \(r\) → Extremstelle, Extremstelle von \(r\) → Wendestelle. Die Berührstelle ist der Sonderfall: Dort hat \(r\) ein Extremum (den Wert 0), also hat \(B\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente — einen Sattelpunkt, aber keine Extremstelle.

Ansatz: Frage bei jeder Karte: Geht es um das Vorzeichen von \(r\), um einen Vorzeichenwechsel oder um einen Hoch-/Tiefpunkt von \(r\)?

Weiter: „negativ und steigend“ ist eine Aussage über das Vorzeichen — \(B\) fällt, nur immer langsamer. Eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel ist ein Tiefpunkt oder Hochpunkt von \(r\).

A5

Rechenkette: Messehalle

AFB IIMix

Die Zahl der Personen in einer Messehalle wird für \(0\le t\le10\) (\(t\) in Stunden nach 8 Uhr) durch \(B(t)=-0{,}5t^3+6t^2+2\) beschrieben (\(B\) in 100 Personen). Berechnen Sie mithilfe der Änderungsrate \(r=B'\) Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

\(r(2)\) in 100 Personen pro Stunde
Zeitpunkt \(t\), zu dem die Personenzahl am stärksten zunimmt h
größte Änderungsrate
Zeitpunkt \(t\) mit den meisten Personen in der Halle h
größte Personenzahl (in 100 Personen)

\(r(t)=-1{,}5t^2+12t\). Stärkster Zuwachs: \(r'(t)=-3t+12=0\Rightarrow t=4\) (12 Uhr), \(r(4)=24\), also 2400 Personen pro Stunde. Meiste Personen: \(r(t)=0\Rightarrow t=0\) oder \(t=8\); bei \(t=8\) wechselt \(r\) von \(+\) nach \(-\), also um 16 Uhr mit \(B(8)=130\), das sind 13 000 Personen. Am Rand ist \(B(0)=2\) und \(B(10)=102\) — kleiner. Häufiger Fehler: \(t=4\) als Zeitpunkt der meisten Besucher nennen.

Ansatz: Leite zuerst ab: \(r(t)=B'(t)=-1{,}5t^2+12t\).

Weiter: Stärkster Zuwachs = Maximum von \(r\), also \(r'(t)=0\). Meiste Personen = Maximum von \(B\), also \(r(t)=0\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\).

A6

Rate und Bestandsverlauf

AFB II

Die Terme beschreiben Änderungsraten \(r\) für \(t\ge0\). Deuten Sie jeden Term: Wie verläuft der zugehörige Bestand \(B\)?

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

\(6-2t\) und \(2t-6\) haben beide die Nullstelle 3 — entscheidend ist die Richtung des Vorzeichenwechsels. \((t-3)^2\) ist nie negativ: \(B\) steigt überall und wird bei \(t=3\) nur kurz waagerecht.

Ansatz: Bestimme für jeden Term Nullstellen und Vorzeichen.

Weiter: Konstant positiv → gleichmäßiges Wachstum; wachsend positiv → immer schnelleres Wachstum. Bei \(t=3\): Von \(+\) nach \(-\) gibt ein Maximum, von \(-\) nach \(+\) ein Minimum, ohne Wechsel einen Sattelpunkt.

A7

Fahrradstation am Bahnhof

AFB II

An einer Leihstation wird die Änderungsrate \(r\) der Zahl der abgestellten Fahrräder beschrieben durch \(r(t)=0{,}5\,(t-1)(t-4)(t-7)\) für \(0\le t\le8\) (\(t\) in h nach 6 Uhr, \(r\) in Rädern pro Stunde). Ermitteln Sie aus dem Graphen die Eigenschaften der Zahl \(B\) der Räder.

Änderungsrate \(r\) in Rädern pro Stunde

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfe dann alle auf einmal.

1. \(B\) hat ein lokales Maximum bei

2. \(B\) hat lokale Minima bei

3. Wendestellen von \(B\) liegen bei

4. Am schnellsten nimmt die Zahl der Räder auf \([0;\,8]\) zu bei

Nullstellen von \(r\) mit Wechsel \(+\to-\): Maximum (\(t=4\)); \(-\to+\): Minima (\(t=1\), \(t=7\)). Die Extremstellen von \(r\) bei \(t=4\pm\sqrt3\approx2{,}3\) bzw. \(5{,}7\) sind die Wendestellen von \(B\). Falle in Frage 4: Der lokale Hochpunkt von \(r\) hat nur \(r\approx5{,}2\), am Rand ist \(r(8)=14\) — dort ist der Zuwachs am größten. Genauso ist \(r(0)=-14\) die stärkste Abnahme.

Ansatz: Lies zuerst die Nullstellen von \(r\) und die Vorzeichen dazwischen ab.

Weiter: Extremstellen von \(B\): Vorzeichenwechsel von \(r\). Wendestellen von \(B\): Hoch- und Tiefpunkte von \(r\). Für den schnellsten Zuwachs zählt der größte Wert von \(r\) auf dem ganzen Intervall — auch am Rand.

A8

Fünf Raten, vier Eigenschaften

AFB III

Die Terme beschreiben Änderungsraten \(r\) auf dem Intervall \([0;\,6]\). Untersuchen Sie, welche Eigenschaften der zugehörige Bestand \(B\) hat.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein, auch keins. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.

Rate	B steigt auf [0; 6]	Hochpunkt im Inneren	Wendestelle	B(6) > B(0)
\((t-3)^2\)
\(3-t\)
\((t-2)(t-5)\)
\(2\)
\(-t\)

Bei \(3-t\) sind Zuwachs (Dreieck über der Achse bis \(t=3\)) und Abnahme (gleich großes Dreieck darunter) genau gleich: \(B(6)=B(0)\), also nicht größer. Bei \((t-2)(t-5)\) liegt ein Hoch- und ein Tiefpunkt vor, die Wendestelle bei \(t=3{,}5\); weil \(r\) ab \(t=5\) steil wächst, ist am Ende trotzdem mehr da. Bei \(-t\) liegt der größte Bestand am Rand \(t=0\) — kein Hochpunkt im Inneren.

Ansatz: Skizziere jede Rate kurz: Nullstellen, Vorzeichen, Hoch- und Tiefpunkte.

Weiter: Für \(B(6)\) gegen \(B(0)\): Vergleiche, wie lange und wie stark \(r\) positiv bzw. negativ ist. Bei \(3-t\) sind beide Teile spiegelgleich. Lineare und konstante Raten haben keine Extremstellen, also hat \(B\) keine Wendestelle.

A9

Fehlersuche: Schneehöhe

AFB III

Jonas beschreibt den Graphen der Änderungsrate \(r\) der Schneehöhe auf einem Berg (in cm/h) an einem Tag: \(r\) ist positiv zwischen 6 und 14 Uhr mit dem größten Wert um 10 Uhr, danach negativ mit dem kleinsten Wert um 16 Uhr; gegen 20 Uhr ist \(r\approx-0{,}5\). Überprüfen Sie seine Deutung.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Am häufigsten in Klausuren: das Maximum der Rate als Maximum des Bestands deuten (Zeile 2) und aus einer steigenden Rate auf einen steigenden Bestand schließen, obwohl die Rate noch negativ ist (Zeile 4).

Ansatz: Prüfe jede Zeile: Wird aus dem Vorzeichen von \(r\) geschlossen oder aus dem Steigen/Fallen von \(r\)?

Weiter: Nur das Vorzeichen von \(r\) entscheidet, ob die Schneehöhe steigt oder fällt. Das Maximum von \(r\) ist eine Wendestelle der Schneehöhe. Und \(r=0\) sagt nichts über die Höhe selbst.

A10

Trickaufgabe: Wie viele Extremstellen?

AFB IIITrick

Die Änderungsrate eines Bestands ist \(r(t)=3t^2-12t+12\) für \(0<t<5\). Bestimmen Sie die Anzahl der lokalen Extremstellen des Bestands \(B\) im Intervall \(]0;\,5[\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(r(t)=3(t^2-4t+4)=3(t-2)^2\): Die einzige Nullstelle \(t=2\) ist doppelt, \(r\) wechselt dort nicht das Vorzeichen und ist sonst positiv. \(B\) steigt also überall und hat bei \(t=2\) nur einen Sattelpunkt — keine Extremstelle. Wer nur „\(r=0\) lösen“ rechnet, findet eine Stelle und antwortet fälschlich 1.

Ansatz: Setze \(r(t)=0\) — und prüfe dann den Vorzeichenwechsel.

Weiter: Klammere 3 aus und erkenne eine binomische Formel. Welches Vorzeichen hat \((t-2)^2\) links und rechts von 2?

Übungen: Änderung und Bestand

Übungsaufgaben