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Abituraufgaben: Änderung und Bestand

Zwei Aufgaben im Abiturformat: Aus dem Graphen der Änderungsrate auf den Verlauf des Bestands schließen — mit und ohne Rechner.

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Besucher im Museum

AFB I–II

Ein Museum öffnet um 9 Uhr und schließt um 17 Uhr. Die Änderungsrate der Besucherzahl wird für \(0\le t\le8\) modelliert durch

\(r(t)=-6t^2+36t\) (\(t\) in Stunden nach 9 Uhr, \(r(t)\) in Personen pro Stunde).

Um 9 Uhr befindet sich niemand im Museum. Material M1 zeigt den Graphen von \(r\). Die gesamte Aufgabe 1 ist ohne Hilfsmittel zu bearbeiten.

Material M1: Änderungsrate der Besucherzahl
12345678−100−80−60−40−20204060t in hr(t) in Personen pro hr
\(t=0\) entspricht 9 Uhr, \(t=8\) entspricht 17 Uhr.
  1. Entnehmen Sie M1, in welchem Zeitraum die Zahl der Besucher zunimmt und in welchem sie abnimmt. 2 BE
  2. Interpretieren Sie die Gleichung \(r(7)=-42\) im Sachzusammenhang. 3 BE
  3. Begründen Sie anhand des Graphen von \(r\), dass sich um 15 Uhr die meisten Besucher im Museum aufhalten und dass die Besucherzahl um 12 Uhr am stärksten zunimmt. 5 BE
  4. Zeigen Sie, dass die Besucherzahl durch \(B(t)=-2t^3+18t^2\) beschrieben wird, und geben Sie mit ihrer Hilfe die größte Besucherzahl sowie die Zahl der Personen an, die sich um 17 Uhr noch im Museum befinden. 5 BE

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nur das Vorzeichen von \(r\) entscheidet über Zu- oder Abnahme. Wo schneidet der Graph die \(t\)-Achse?
Hinweis zu Aufgabe b)
Übersetze \(t=7\) in eine Uhrzeit und achte auf Einheit und Vorzeichen. Beschreibe, was in diesem Moment passiert — nicht, wie viele Personen im Museum sind.Interpretieren heißt: die Zahl in Worten auf die Situation beziehen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zwei verschiedene Merkmale von \(r\): ein Vorzeichenwechsel und ein Hochpunkt. Welches gehört zum größten Bestand, welches zum stärksten Zuwachs? Denke auch an die Ränder des Intervalls.
Hinweis zu Aufgabe d)
Zwei Bedingungen: \(B'=r\) und der Anfangswert \(B(0)\). Danach die Stellen aus c) einsetzen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für \(0<t<6\) ist \(r(t)>0\): Von 9 bis 15 Uhr nimmt die Besucherzahl zu. Für \(6<t\le8\) ist \(r(t)<0\): Von 15 bis 17 Uhr nimmt sie ab. (Kontrolle: \(r(t)=-6t(t-6)\) hat die Nullstellen 0 und 6.)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t=7\) entspricht 16 Uhr. Um 16 Uhr nimmt die Zahl der Besucher mit einer momentanen Rate von 42 Personen pro Stunde ab: Es verlassen in diesem Moment (auf eine Stunde hochgerechnet) 42 Personen mehr das Museum, als hineinkommen. Über die Zahl der Personen im Museum sagt der Wert nichts aus.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Größte Besucherzahl: \(r\) wechselt bei \(t=6\) (15 Uhr) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\); bis dahin steigt die Besucherzahl, danach fällt sie. Also liegt bei \(t=6\) das Maximum von \(B\) im Inneren. Am Rand \(t=0\) ist das Museum leer, und von 15 bis 17 Uhr nimmt die Zahl nur ab, der Rand \(t=8\) kommt also nicht infrage.

Stärkste Zunahme: Der Graph von \(r\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel bei \(t=3\) (Mitte der Nullstellen 0 und 6). Dort ist \(r\) maximal, \(r(3)=54\): Um 12 Uhr kommen mit 54 Personen pro Stunde am schnellsten Besucher hinzu; \(B\) hat dort eine Wendestelle.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(B'(t)=-6t^2+36t=r(t)\) und \(B(0)=0\): Beide Bedingungen sind erfüllt, also beschreibt \(B\) die Besucherzahl.

Größte Besucherzahl: \(B(6)=-2\cdot216+18\cdot36=-432+648=216\) Personen um 15 Uhr. Um 17 Uhr: \(B(8)=-2\cdot512+18\cdot64=-1024+1152=128\) — um 17 Uhr sind im Modell noch 128 Personen im Museum.

2

Testflug einer Drohne

AFB II–III

Eine Vermessungsdrohne startet vom Boden und landet nach 20 Sekunden wieder. Ihre senkrechte Geschwindigkeit (Steiggeschwindigkeit) wird modelliert durch

\(v(t)=0{,}03\,t\,(t-10)(t-20)\) für \(0\le t\le20\) (\(t\) in s, \(v(t)\) in m/s).

Positive Werte bedeuten Steigen, negative Sinken. \(h(t)\) bezeichnet die Flughöhe in m, es gilt \(h'=v\) und \(h(0)=0\). Material M2 zeigt den Graphen von \(v\). Die Teilaufgaben a) und c) sind ohne Hilfsmittel zu bearbeiten, für b) und d) ist ein GTR oder CAS zugelassen.

Material M2: Steiggeschwindigkeit der Drohne
2468101214161820−12−8−44812t in sv(t) in m/sv
Nullstellen von \(v\) bei 0 s, 10 s und 20 s.
  1. Beschreiben Sie den Flug der Drohne anhand von M2. 3 BE
  2. Ermitteln Sie die Zeitpunkte, zu denen die Drohne am schnellsten steigt bzw. sinkt, und deuten Sie diese Zeitpunkte als besondere Stellen des Graphen von \(h\). 5 BE
  3. Skizzieren Sie den Graphen der Flughöhe \(h\) in ein eigenes Koordinatensystem; die größte Flughöhe beträgt 75 m. 4 BE
  4. Ein Techniker behauptet: „Ab etwa 16 Sekunden nimmt die Geschwindigkeit wieder zu. Die Drohne steigt also ab diesem Zeitpunkt wieder, obwohl sie erst nach 20 Sekunden am Boden ist.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage. 4 BE

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Gliedere den Flug in Phasen: Wann steigt die Drohne, wann ist sie am höchsten, wann sinkt sie? Nenne jeweils die Zeitpunkte.Beschreiben verlangt einen geordneten Ablauf in Fachsprache, keine Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gesucht sind Hoch- und Tiefpunkt von \(v\). fx-CG50: MENU 5 (Graph), Y1 eingeben, V-Window z. B. \(0\le x\le20\), \(-15\le y\le15\), dann SHIFT F5 (G-Solv), F2 (MAX) bzw. F3 (MIN). TI-Nspire: nfMax(0.03*x*(x-10)*(x-20),x,0,20) bzw. nfMin(…). Welche Bedeutung hat ein Extremum der Ableitung für die Funktion?
Hinweis zu Aufgabe c)
Übertrage die Ergebnisse aus a) und b): Start- und Landepunkt, Hochpunkt, zwei Wendestellen. Beachte die Steigung am Start, am Hochpunkt und bei der Landung.
Hinweis zu Aufgabe d)
Trenne sauber: „Geschwindigkeit nimmt zu“ ist eine Aussage über den Verlauf von \(v\); „steigt“ ist eine Aussage über das Vorzeichen von \(v\). Welches Vorzeichen hat \(v\) zwischen 16 und 20 s? Beziehe auch den Betrag der Sinkgeschwindigkeit ein.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Von 0 s bis 10 s ist \(v>0\): Die Drohne steigt, zuerst immer schneller, ab etwa 4 s wieder langsamer. Bei \(t=10\,\mathrm s\) ist \(v=0\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\): Die Drohne hat ihre größte Höhe erreicht. Von 10 s bis 20 s ist \(v<0\): Sie sinkt, zuerst immer schneller, ab etwa 16 s langsamer, und setzt bei \(t=20\,\mathrm s\) mit \(v=0\) sanft auf.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

GTR/CAS: Maximum von \(v\) bei \(t\approx4{,}23\,\mathrm s\) mit \(v\approx11{,}55\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\), Minimum bei \(t\approx15{,}77\,\mathrm s\) mit \(v\approx-11{,}55\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\). (Exakt: \(v'(t)=0{,}03\,(3t^2-60t+200)=0\Rightarrow t=10\mp\tfrac{10}{\sqrt3}\).)

Nach etwa 4,2 s steigt die Drohne am schnellsten, nach etwa 15,8 s sinkt sie am schnellsten. Weil \(v=h'\) ist, sind die Extremstellen von \(v\) die Wendestellen von \(h\): Dort ist der Höhengraph am steilsten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Graph beginnt in \((0\,|\,0)\) mit waagerechter Tangente (\(v(0)=0\)), steigt als Linkskurve bis zur Wendestelle bei etwa 4,2 s, dann als Rechtskurve bis zum Hochpunkt \((10\,|\,75)\). Danach fällt er, ab etwa 15,8 s (Wendestelle) wieder als Linkskurve, und endet in \((20\,|\,0)\) mit waagerechter Tangente. Der Graph ist symmetrisch zur Geraden \(t=10\).

Bewertet werden: Start/Landung auf der \(t\)-Achse mit waagerechter Tangente, Hochpunkt bei \(t=10\) in 75 m Höhe, zwei Wendestellen an den Stellen aus b), keine negativen Höhen. (Zur Kontrolle: \(h(t)=0{,}0075\,t^2(t-20)^2\), die Wendepunkte liegen bei etwa 33 m.)

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Richtig ist der erste Teil: Nach dem Tiefpunkt von \(v\) bei etwa 15,8 s wird \(v\) größer, von etwa \(-11{,}5\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) bis 0.

Falsch ist die Folgerung: \(v\) bleibt zwischen 15,8 s und 20 s negativ, die Drohne sinkt also weiter. Die Zunahme von \(v\) bedeutet nur, dass der Betrag der Sinkgeschwindigkeit kleiner wird — die Drohne bremst den Sinkflug ab. Genau das ist für eine sanfte Landung nötig, und die Höhe nimmt bis zur Landung bei 20 s weiter ab. Steigen würde die Drohne nur bei \(v>0\).

Vollständig ist die Stellungnahme, wenn sie Verlauf und Vorzeichen von \(v\) unterscheidet und die Aussage begründet zurückweist.