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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Welches Gesetz steckt dahinter?
AFB I MixDie Karten beschreiben Vorgänge. Ordnen Sie jeden Vorgang dem passenden Änderungsgesetz zu.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f′(t) = k · f(t)
2f′(t) konstant
3keines von beiden
Bei Zinseszins, Bakterien und Zerfall hängt die Änderung vom momentanen Bestand ab — beim Zerfall mit \(k<0\). Kerze, Regentonne und Tarif ändern sich immer gleich schnell. Tee und Bekanntheit ändern sich umso schneller, je größer der Abstand zu einer Grenze ist — das ist begrenztes Wachstum (5.3.1), nicht exponentiell.
Ansatz: Fragen Sie sich: Wird die Änderung größer, wenn schon mehr da ist?Warum? Genau dann ist die Rate proportional zum Bestand.
Weiter: Ändert sich die Größe pro Zeiteinheit immer um denselben Betrag, ist \(f'\) konstant — lineares Modell.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IEin Bestand wird durch f(t) = 80 · 1,25t beschrieben (t in Tagen). Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die mittlere Änderungsrate ist eine Sekantensteigung, f′(t) eine Tangentensteigung. Beim exponentiellen Wachstum ist nur das Verhältnis f′(t) : f(t) konstant — nicht die Änderung selbst.
Ansatz: Vergleichen Sie jede Aussage mit dem Gesetz \(f'(t)=k\cdot f(t)\).
Weiter: Für die letzte Aussage: \(f(2)=80\cdot1{,}25^{2}=125\).
A3
Tangentensteigung näherungsweise
AFB IBerechnen Sie für \(f(t)=50\cdot2^{t}\) den Differenzenquotienten \(\frac{f(3{,}01)-f(3)}{0{,}01}\) auf zwei Nachkommastellen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f(3)=400\) und \(f(3{,}01)=50\cdot2^{3{,}01}\approx402{,}782\). Also \(\frac{2{,}782}{0{,}01}\approx278{,}22\). Das ist fast genau \(0{,}693\cdot400\) — der Faktor \(0{,}693\) begegnet Ihnen in 5.1.2 wieder.
Ansatz: Beide Funktionswerte mit dem Rechner bestimmen, dann Differenz durch \(0{,}01\) teilen.
Weiter: Nicht zu früh runden: \(f(3{,}01)\) mit mindestens drei Nachkommastellen notieren.
A4
Wertetabelle mit Wachstumsgeschwindigkeit
AFB IIFür \(f(t)=500\cdot1{,}2^{t}\) wurde gemessen: \(f'(t)\approx0{,}1823\cdot f(t)\). Erstellen Sie die Tabelle (eine Nachkommastelle).
Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| \(t\) | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| \(f(t)\) | 500 | ||
| \(f'(t)\) |
Aus \(f(2)=720\) folgt \(f'(2)\approx0{,}1823\cdot720\approx131{,}3\). Die Wachstumsgeschwindigkeit wächst im selben Verhältnis wie der Bestand: von \(t=0\) bis \(t=4\) beide mit dem Faktor \(1{,}2^{4}\approx2{,}07\).
Ansatz: Erst die Funktionswerte, dann jeweils mit \(0{,}1823\) multiplizieren.
Weiter: \(1{,}2^{2}=1{,}44\) und \(1{,}2^{4}=2{,}0736\).
A5
Rechenkette: Algen im Baggersee
AFB IIFür die Algenfläche eines Sees gilt \(f'(t)=0{,}3\cdot f(t)\) (\(f\) in m², \(t\) in Wochen), zu Beginn sind \(20\,\mathrm{m^2}\) bedeckt. Ermitteln Sie die Größen nacheinander.
Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn m² pro Woche
- Bedeckte Fläche, wenn die Geschwindigkeit 12 m² pro Woche beträgt m²
- Geschwindigkeit bei 150 m² bedeckter Fläche m² pro Woche
- Quotient f′(t) : f(t) bei 150 m²
Man braucht keinen Funktionsterm: \(f'=0{,}3\cdot f\) verknüpft Geschwindigkeit und Bestand direkt. \(12=0{,}3\cdot f\Rightarrow f=40\). Der Quotient ist immer \(0{,}3\) — das ist \(k\).
Ansatz: Setzen Sie jeweils in \(f'=0{,}3\cdot f\) ein.
Weiter: Bei Schritt 2 ist \(f'\) gegeben und \(f\) gesucht: durch \(0{,}3\) teilen.
A6
Woran erkennt man exponentielles Wachstum?
AFB IIBegründen Sie für sich, welche Aussagen einen exponentiellen Wachstumsprozess kennzeichnen, und markieren Sie alle zutreffenden.
Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
Konstanter Zuwachs und parallele Tangenten beschreiben lineares Wachstum. Bei \(f'(t)=0{,}4t\) hängt die Rate von der Zeit ab, nicht vom Bestand — das ergibt eine Parabel, kein exponentielles Wachstum.
Ansatz: Exponentiell heißt: \(f'(t)=k\cdot f(t)\). Prüfen Sie jede Aussage darauf.
Weiter: Achtung bei der letzten Zeile: \(t\) ist nicht \(f(t)\).
A7
Wer hat das größere k?
AFB II TrickVergleichen Sie die Wachstumskonstanten \(k=\frac{f'(t)}{f(t)}\) und ordnen Sie vom kleinsten zum größten \(k\).
Ziehen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1f(t) = 200 · 1,02t
2f(t) = 100 · 1,1t
3f(t) = 5 · 1,3t
4f(t) = 40 · 1,5t
5f(t) = 2t
Der Quotient \(\frac{f'(t)}{f(t)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{b^{h}-1}{h}\) hängt nur von der Basis \(b\) ab. Der Vorfaktor ändert \(k\) nicht — \(200\cdot1{,}02^{t}\) hat trotz des großen Startwerts das kleinste \(k\).
Ansatz: In 5.1.1 steht: \(\frac{f'(t)}{f(t)}=\frac{b^{h}-1}{h}\) für kleines \(h\). Wovon hängt das ab?
Weiter: Nur die Basis zählt — größere Basis, größeres \(k\).
A8
Fehlersuche: Sekante statt Tangente
AFB IIITim soll die Wachstumsgeschwindigkeit von \(f(t)=60\cdot1{,}5^{t}\) bei \(t=2\) bestimmen. Überprüfen Sie seine Lösung — zwei Zeilen sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Beim exponentiellen Wachstum wird der Graph immer steiler — eine Sekante nach rechts überschätzt die Tangentensteigung stark. Mit \(h=0{,}001\): \(f'(2)\approx54{,}7=0{,}405\cdot135\).
Ansatz: Welche Zeile berechnet eine mittlere statt einer momentanen Änderungsrate?
Weiter: Prüfen Sie Zeile 5 mit \(0{,}405\cdot135\approx54{,}7\) — passt das zu Zeile 3?
A9
Was passiert mit f′(t)?
AFB IIIAusgangslage: \(f(t)=a\cdot b^{t}\) mit \(b>1\). Schätzen Sie für jede Änderung ab, wie sich die Wachstumsgeschwindigkeit \(f'(t)\) an der betrachteten Stelle verändert.
Wählen Sie je Zeile: 1 = halbiert, 2 = kleiner (nicht halb), 3 = gleich, 4 = größer (nicht doppelt), 5 = verdoppelt. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = halbiert5 = verdoppelt
Der Vorfaktor a wird verdoppelt (gleiches t).
Man betrachtet die Stelle eine Verdopplungszeit später.
Der Vorfaktor a wird halbiert (gleiches t).
Man vergleicht zwei Stellen mit gleichem Bestand f(t).
Die Basis steigt von 1,2 auf 1,3, der Bestand f(t) an der Stelle bleibt gleich.
Wegen \(f'(t)=k\cdot f(t)\) ändert sich \(f'\) genau wie \(f\), solange \(k\) gleich bleibt. Nur eine andere Basis ändert \(k\): von etwa \(0{,}18\) auf \(0{,}26\) — größer, aber nicht doppelt.
Ansatz: Nutzen Sie \(f'(t)=k\cdot f(t)\): Was ändert sich — \(k\), \(f(t)\) oder beides?
Weiter: Eine Verdopplungszeit später hat sich \(f(t)\) verdoppelt; \(k\) hängt nur von \(b\) ab.
A10
Ohne Funktionsterm
AFB III TrickVon einem exponentiellen Wachstumsprozess kennt man nur \(f(4)=60\) und \(f'(4)=18\). Bestimmen Sie \(f'(9)\), wenn \(f(9)=150\) gilt.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Aus \(f'(4)=k\cdot f(4)\) folgt \(k=\frac{18}{60}=0{,}3\). Dann \(f'(9)=0{,}3\cdot150=45\). Der Funktionsterm wird gar nicht gebraucht — das Gesetz \(f'=k\cdot f\) reicht.
Ansatz: Welche Größe ist bei exponentiellem Wachstum an jeder Stelle gleich?
Weiter: \(k=\frac{f'(4)}{f(4)}\), dann \(f'(9)=k\cdot f(9)\).