Wasserhyazinthen
AFB I–IIAuf einem See breiten sich Wasserhyazinthen aus. Die bedeckte Fläche wird durch \(A(t)=12\cdot1{,}15^{t}\) beschrieben (\(t\) in Tagen, \(A\) in \(\mathrm{m^2}\)).
- Geben Sie die Anfangsfläche und die tägliche prozentuale Zunahme an.
- Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Fläche in den ersten 10 Tagen.
- Bestimmen Sie näherungsweise die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t=10\) mit einem Differenzenquotienten (\(h=0{,}001\)).
- Zeigen Sie, dass der Quotient \(\frac{A(t+h)-A(t)}{h}:A(t)\) nicht von \(t\) abhängt, und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(A(0)=12\,\mathrm{m^2}\); Faktor \(1{,}15\), also \(15\,\%\) Zunahme pro Tag.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(A(10)=12\cdot1{,}15^{10}\approx48{,}55\). \(\frac{48{,}55-12}{10}\approx3{,}65\,\mathrm{m^2}\) pro Tag.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\frac{A(10{,}001)-A(10)}{0{,}001}\approx6{,}79\,\mathrm{m^2}\) pro Tag. Am 10. Tag wächst die Fläche fast doppelt so schnell wie im Mittel der ersten 10 Tage.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(\frac{A(t+h)-A(t)}{h}=12\cdot1{,}15^{t}\cdot\frac{1{,}15^{h}-1}{h}=A(t)\cdot\frac{1{,}15^{h}-1}{h}\). Nach Division durch \(A(t)\) bleibt \(\frac{1{,}15^{h}-1}{h}\approx0{,}140\) für kleines \(h\) — unabhängig von \(t\).
Deutung: Die Fläche wächst in jedem Moment um etwa \(14\,\%\) ihres aktuellen Werts pro Tag; die Wachstumsgeschwindigkeit ist proportional zur bedeckten Fläche.
Messreihe im Labor
AFB II–IIIIn einem Labor wird eine Bakterienkultur beobachtet. Neben der Anzahl \(N\) wird mit einem Messprogramm auch die momentane Wachstumsgeschwindigkeit \(N'\) (Bakterien pro Stunde) erfasst.
| \(t\) in h | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| \(N(t)\) | 500 | 760 | 1150 | 1750 |
| \(N'(t)\) in 1/h | 105 | 160 | 240 | 368 |
- Weisen Sie nach, dass die Messwerte zum Gesetz \(N'(t)=k\cdot N(t)\) passen, und geben Sie \(k\) auf zwei Nachkommastellen an.
- Erläutern Sie die Bedeutung von \(k\) im Sachzusammenhang und geben Sie die Einheit an.
- Ein passendes Modell ist \(N(t)=500\cdot1{,}234^{t}\). Ermitteln Sie, wann die Kultur 5000 Bakterien umfasst und wie schnell sie dann wächst.
- Ein Mitschüler behauptet: „Die Geschwindigkeit steigt alle 2 Stunden um etwa 55 bis 130 — das ist eher linear.“ Nehmen Sie Stellung.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\frac{105}{500}=0{,}21\), \(\frac{160}{760}\approx0{,}21\), \(\frac{240}{1150}\approx0{,}21\), \(\frac{368}{1750}\approx0{,}21\). Der Quotient ist im Rahmen der Messgenauigkeit konstant, also \(k\approx0{,}21\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(k\approx0{,}21\) pro Stunde: Die Kultur wächst in jedem Moment mit einer Geschwindigkeit von etwa \(21\,\%\) ihres aktuellen Bestands pro Stunde. Einheit: \(\frac{\text{Bakterien/h}}{\text{Bakterien}}=\frac1{\mathrm h}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(1{,}234^{t}=10\Rightarrow t=\log_{1{,}234}10\approx10{,}95\) h. Dann \(N'\approx0{,}21\cdot5000=1050\) Bakterien pro Stunde.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Zuwächse der Geschwindigkeit (55; 80; 128) sind nicht konstant, sondern werden größer — also nicht linear. Konstant ist das Verhältnis \(N'\!:N\approx0{,}21\): Das kennzeichnet exponentielles Wachstum. Vollständig ist die Antwort, wenn beide Kriterien (Differenzen und Quotienten) geprüft und ein begründetes Urteil formuliert wird.