Extrem- und Wendestellen: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Wie viele Nullstellen hat die Ableitung?

AFB I

Die Karten zeigen fertig ausgeklammerte Ableitungen. Ordnen Sie jede Ableitung der Anzahl ihrer Nullstellen zu.

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1keine Nullstelle

2genau eine Nullstelle

3zwei Nullstellen

Der e-Faktor ist nie null — es zählt nur der Polynomteil. \(x^{2}+1\) hat keine Nullstelle, \(x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}\) nur die doppelte Nullstelle \(x=-1\), \(x^{2}-x=x(x-1)\) die zwei Nullstellen \(0\) und \(1\). Achtung: Die doppelte Nullstelle bei \((x+1)^{2}\) hat keinen Vorzeichenwechsel — dort liegt ein Sattelpunkt, kein Extrempunkt.

Ansatz: Setzen Sie nur den Polynomteil null, denn \(e^{kx}>0\) für alle \(x\).Warum? Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.

Weiter: Bei quadratischen Polynomteilen hilft die binomische Formel oder Ausklammern von \(x\).

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Gegeben ist f(x) = (x − 1) · e^x. Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Mit der Merkformel \(f'(x)=\bigl(p'(x)+k\cdot p(x)\bigr)e^{kx}\) geht es schnell: \(p(x)=x-1\), \(k=1\) liefert \(f'(x)=(1+x-1)e^{x}=x\,e^{x}\) und nochmals \(f''(x)=(1+x)e^{x}\).

Ansatz: Berechnen Sie zuerst \(f'\) und \(f''\) und klammern Sie \(e^{x}\) aus.

Weiter: Hoch- oder Tiefpunkt entscheidet das Vorzeichen von \(f''\) an der Extremstelle.

A3

Tiefpunkt mit der Merkformel

AFB I

Berechnen Sie für \(f(x)=(2x-5)\cdot e^{0{,}5x}\) die y-Koordinate des Tiefpunkts auf zwei Nachkommastellen.

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(f'(x)=\bigl(2+0{,}5\,(2x-5)\bigr)e^{0{,}5x}=(x-0{,}5)\,e^{0{,}5x}\), also \(x=0{,}5\). Vorzeichenwechsel des Polynomteils von \(-\) nach \(+\) — Tiefpunkt. \(f(0{,}5)=-4\cdot e^{0{,}25}\approx-5{,}14\).

Ansatz: \(f'(x)=\bigl(p'(x)+k\cdot p(x)\bigr)e^{kx}\) mit \(p(x)=2x-5\) und \(k=0{,}5\).

Weiter: Die Extremstelle ist \(x=0{,}5\). Setzen Sie sie in \(f\) ein — nicht in \(f'\).

A4

Drei Funktionen im Vergleich

AFB II

Ermitteln Sie jeweils die Extremstelle \(x_E\), den Funktionswert dort und die Wendestelle \(x_W\) (zwei Nachkommastellen).

Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Funktion	\(x_E\)	\(f(x_E)\)	\(x_W\)
\(f(x)=x\cdot e^{2x}\)
\(g(x)=(x+2)\cdot e^{-x}\)
\(h(x)=4x\cdot e^{-0{,}25x}\)

\(f'=(1+2x)e^{2x}\), \(f''=(4+4x)e^{2x}\). \(g'=-(x+1)e^{-x}\), \(g''=x\,e^{-x}\), also \(g(-1)=e\approx2{,}72\). \(h'=(4-x)e^{-0{,}25x}\), \(h''=(0{,}25x-2)e^{-0{,}25x}\), also \(h(4)=16e^{-1}\approx5{,}89\). Bei allen drei liegt die Wendestelle rechts bzw. links in festem Abstand zur Extremstelle — typisch für Polynomteil vom Grad 1.

Ansatz: Merkformel zweimal anwenden: aus \(p\) wird \(p'+k\,p\), daraus wieder \((p'+k\,p)'+k\,(p'+k\,p)\).

Weiter: Kontrolle am GTR: SHIFT F5 (G-SOLVE), F2 MAX bzw. F3 MIN.

A5

Rechenkette: zwei Extrempunkte

AFB II

Bestimmen Sie für \(f(x)=(x^{2}-5x+4)\cdot e^{0{,}5x}\) die Extrempunkte Schritt für Schritt (zwei Nachkommastellen).

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

kleinere Extremstelle \(x_1\)
\(f(x_1)\)
größere Extremstelle \(x_2\)
\(f(x_2)\)

\(f'(x)=\bigl(2x-5+0{,}5x^{2}-2{,}5x+2\bigr)e^{0{,}5x}=0{,}5\,(x^{2}-x-6)\,e^{0{,}5x}=0{,}5\,(x+2)(x-3)\,e^{0{,}5x}\). Der Polynomteil wechselt bei \(-2\) von \(+\) nach \(-\) (Hochpunkt \(H(-2\,|\,18e^{-1})\)) und bei \(3\) von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt \(T(3\,|\,-2e^{1{,}5})\)).

Ansatz: \(p(x)=x^{2}-5x+4\), \(k=0{,}5\): \(p'+0{,}5\,p\) zusammenfassen.

Weiter: \(x^{2}-x-6=0\) mit pq-Formel: \(x=0{,}5\pm2{,}5\).

A6

Was gilt bei Extrem- und Wendestellen?

AFB II

Begründen Sie für sich, welche Aussagen immer richtig sind, und markieren Sie alle zutreffenden.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.

\(f''(x_0)=0\) ist nur notwendig — erst der Vorzeichenwechsel macht \(x_0\) zur Wendestelle. \((x-2)^{2}\) ist nie negativ, \(f'\) wechselt bei \(2\) also nicht das Vorzeichen: Sattelpunkt. \(e^{-x}\) wird beliebig klein, aber nie \(0\).

Ansatz: Unterscheiden Sie notwendige und hinreichende Bedingungen.

Weiter: Für die Aussage mit \((x-2)^{2}\): Setzen Sie \(x=1\) und \(x=3\) ein — welches Vorzeichen hat \(f'\)?

A7

Funktion und Extrempunkte

AFB II

Untersuchen Sie die Funktionen auf Extrempunkte und verbinden Sie jede Funktion mit ihrem Ergebnis.

Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

a) \(f'=(1-2x)e^{-2x}\); b) \(f'=(1+2x)e^{2x}\) — das Vorzeichen im Exponenten spiegelt den Graphen und macht aus dem Hoch- einen Tiefpunkt. c) \(f'=x(x+2)e^{x}\) hat zwei Nullstellen. d) \(f'=(2-x)e^{-x}\), \(f(2)=e^{-2}\). e) \(f'=-x\,e^{x}\), \(f(0)=1\).

Ansatz: Für jede Funktion \(f'\) mit der Merkformel bilden und den Polynomteil null setzen.

Weiter: Die Anzahl der Extrempunkte grenzt schon viel ein: Nur eine Funktion hat zwei.

A8

Fehlersuche: vergessene Produktregel

AFB III

Mia untersucht \(f(x)=(x^{2}-3)\cdot e^{x}\). Überprüfen Sie ihre Lösung — zwei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.

Heimtückisch: Zeile 4 stimmt trotz falschem \(f''\). An einer Nullstelle von \(q(x)=x^{2}+2x-3\) fällt der Summand \(q(x)\,e^{x}\) weg, dort ist \(q'(x)\,e^{x}\) zufällig richtig. Bei der Wendestelle fliegt der Fehler auf — die Wendestellen liegen bei \(-2\pm\sqrt5\).

Ansatz: Leiten Sie \(f'(x)=(x^{2}+2x-3)e^{x}\) selbst noch einmal ab — mit Produktregel.

Weiter: Setzen Sie \(x=1\) in das richtige \(f''\) ein: Warum stimmt Zeile 4 trotzdem?

A9

Wendetangente Schritt für Schritt

AFB III

Gegeben ist \(f(x)=(x+1)\cdot e^{-0{,}5x}\) mit \(f''(x)=(0{,}25x-0{,}75)\,e^{-0{,}5x}\). Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente auf, indem Sie die Zwischenergebnisse auswählen.

Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.

Wendestelle \(x_W\) =

\(f(x_W)\approx\)

Steigung \(m=f'(x_W)\approx\)

Wendetangente \(t(x)=\)

Die Wendetangente schneidet die x-Achse bei \(x=\)

\(f'(x)=(0{,}5-0{,}5x)\,e^{-0{,}5x}\), also \(m=f'(3)=-e^{-1{,}5}\approx-0{,}22\) und \(f(3)=4e^{-1{,}5}\approx0{,}89\). Punkt-Steigungs-Form: \(t(x)=-e^{-1{,}5}(x-3)+4e^{-1{,}5}=e^{-1{,}5}(7-x)\). Die Falle \(-0{,}22x+0{,}89\) vergisst die Verschiebung um \(x_W=3\).

Ansatz: \(f''(x)=0\) liefert \(0{,}25x=0{,}75\). Der Vorzeichenwechsel ist beim linearen Polynomteil sicher.

Weiter: Tangente: \(t(x)=f'(x_W)\cdot(x-x_W)+f(x_W)\). Exakt rechnen und \(e^{-1{,}5}\) ausklammern.

A10

Umkehraufgabe: Wirkstoff

AFB III Mix Trick

Die Konzentration eines Wirkstoffs wird durch \(c(t)=a\cdot t\cdot e^{-kt}\) (\(a,k>0\), \(t\) in h, \(c\) in mg/l) beschrieben. Sie ist nach 4 Stunden maximal und beträgt dann 5 mg/l. Lösen Sie die Umkehraufgabe und geben Sie \(a\) auf zwei Nachkommastellen an.

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(c'(t)=a\,(1-kt)\,e^{-kt}=0\Leftrightarrow t=\frac1k\). Aus \(\frac1k=4\) folgt \(k=0{,}25\) — ganz ohne \(a\). Dann \(c(4)=4a\cdot e^{-1}=5\Rightarrow a=\frac{5e}{4}\approx3{,}40\). Die Lage des Maximums hängt nur von \(k\) ab, die Höhe von \(a\) und \(k\).

Ansatz: Leiten Sie allgemein ab: Wo liegt das Maximum von \(a\,t\,e^{-kt}\)? Der Parameter \(a\) fällt heraus.

Weiter: Mit \(k=0{,}25\): \(c(4)=4a\,e^{-1}=5\) nach \(a\) auflösen.

Übungen: Extrem- und Wendestellen

Übungsaufgaben