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Abituraufgaben: Extrem- und Wendestellen

Grippewelle und Koffein — zwei Abituraufgaben zu Extrem- und Wendestellen.

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1

Grippewelle

AFB I–II

Während einer Grippewelle wird die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag in einer Großstadt durch \(f(t)=120\,t^{2}\cdot e^{-0{,}25t}\) modelliert (\(t\) in Tagen seit Beginn der Welle). Zur Kontrolle dürfen Sie verwenden: \(f''(t)=7{,}5\,(t^{2}-16t+32)\cdot e^{-0{,}25t}\).

Grippewelle (Skizze)
510152025302004006008001000t in Tagenf(t)fHW₁W₂
Neuerkrankungen pro Tag f(t), t in Tagen seit Beginn der Welle
  1. Berechnen Sie \(f(4)\) und \(f(20)\) und deuten Sie die Werte im Sachzusammenhang.
  2. Zeigen Sie, dass \(f'(t)=30\,t\,(8-t)\cdot e^{-0{,}25t}\) gilt, und bestimmen Sie den Hochpunkt des Graphen.
  3. Ermitteln Sie die beiden Wendestellen und interpretieren Sie sie im Sachzusammenhang.
  4. Ab dem zweiten Wendepunkt geht die Zahl der Neuerkrankungen zurück. Stellen Sie die Gleichung der Tangente im zweiten Wendepunkt auf und beurteilen Sie die Aussage: „Wenn der Rückgang so schnell weitergeht wie dort, ist die Welle nach etwa 23 Tagen vorbei.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Einsetzen genügt; beim Deuten Einheit „Neuerkrankungen pro Tag“ nennen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Produktregel mit \(u=120t^{2}\), \(v=e^{-0{,}25t}\), dann \(e^{-0{,}25t}\) und \(30t\) ausklammern. Hinreichend: Vorzeichenwechsel von \(f'\) oder \(f''(8)<0\).Zeigen: Umformungskette bis zum gegebenen Term.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(t^{2}-16t+32=0\) mit pq-Formel. Kontrolle GTR: Graph von \(f'\) zeichnen und mit SHIFT F5 (G-SOLVE) F2 MAX bzw. F3 MIN die Extremstellen von \(f'\) suchen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Tangente \(y=f'(t_W)\,(t-t_W)+f(t_W)\); ihre Nullstelle mit der Nullstelle des Modells vergleichen: Hat \(f\) überhaupt eine Nullstelle für \(t>0\)?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(4)=1920\,e^{-1}\approx706\), \(f(20)=48000\,e^{-5}\approx323\). Am 4. Tag erkranken etwa 706 Personen neu, am 20. Tag noch etwa 323 Personen pro Tag.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f'(t)=240t\,e^{-0{,}25t}+120t^{2}\cdot(-0{,}25)\,e^{-0{,}25t}=(240t-30t^{2})\,e^{-0{,}25t}=30t\,(8-t)\,e^{-0{,}25t}\).

\(f'(t)=0\Leftrightarrow t=0\) oder \(t=8\). Bei \(t=8\) wechselt \(30t(8-t)\) von \(+\) nach \(-\) ⇒ Hochpunkt \(H(8\,|\,7680\,e^{-2})\approx(8\,|\,1039)\). (\(t=0\) ist Randminimum.) GTR: SHIFT F5, F2 MAX ⇒ X = 8, Y ≈ 1039,4.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(t^{2}-16t+32=0\Leftrightarrow t=8\pm\sqrt{32}\), also \(t_1\approx2{,}34\), \(t_2\approx13{,}66\); der Polynomteil wechselt jeweils das Vorzeichen.

Bei \(t_1\approx2{,}3\) Tagen nimmt die Zahl der Neuerkrankungen am stärksten zu (\(f'(t_1)\approx221\) pro Tag2), bei \(t_2\approx13{,}7\) Tagen nimmt sie am stärksten ab (\(f'(t_2)\approx-76\) pro Tag2).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(f(t_2)\approx736{,}4\), \(f'(t_2)\approx-76{,}26\). Tangente: \(y\approx-76{,}26\,(t-13{,}66)+736{,}4\approx-76{,}26\,t+1778\). Nullstelle bei \(t\approx23{,}3\).

Beurteilung: Die Zahl 23 ist rechnerisch richtig, die Aussage aber zu optimistisch. Die Wendetangente beschreibt die stärkste Abnahme; danach wird der Rückgang langsamer. Im Modell ist \(f(t)>0\) für alle \(t>0\), \(f(23{,}3)\approx160\) — die Welle klingt nur allmählich aus.

2

Koffein am Nachmittag

AFB II–III

Nach dem Trinken eines großen Kaffees wird die Koffeinmenge im Blut durch \(c(t)=160\cdot\bigl(e^{-0{,}15t}-e^{-1{,}5t}\bigr)\) beschrieben (\(t\) in Stunden, \(c\) in mg). Der erste Summand beschreibt den Abbau, der zweite die Aufnahme aus dem Magen.

Koffein im Blut (Skizze)
24681012141620406080100t in hc in mgcHW
Koffeinmenge c(t) in mg, t in Stunden nach dem Trinken
  1. Geben Sie \(c(0)\) an und beschreiben Sie den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang.
  2. Weisen Sie nach, dass die Koffeinmenge zum Zeitpunkt \(t_{\max}=\frac{\ln10}{1{,}35}\) maximal ist, und berechnen Sie die maximale Menge.
  3. Beweisen Sie, dass die Wendestelle genau bei \(2\,t_{\max}\) liegt, und erläutern Sie ihre Bedeutung.
  4. Lena trinkt den Kaffee um 16 Uhr und will um 23 Uhr schlafen; ab etwa 20 mg stört Koffein den Schlaf kaum noch. Nehmen Sie Stellung, ob der Kaffee um 16 Uhr eine gute Idee ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(e^{0}=1\). Für den Verlauf: Was dominiert für kleine, was für große \(t\)?Beschreiben: Verlauf in Worten, ohne Begründung.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(c'(t)=0\) umformen zu \(e^{1{,}35t}=10\) — dazu beide Seiten mit \(e^{1{,}5t}\) multiplizieren. Vorzeichenwechsel oder \(c''(t_{\max})<0\) prüfen.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(c''(t)=0\) führt auf \(e^{1{,}35t}=100\). Nutzen Sie \(\ln100=2\ln10\). CAS-Kontrolle: solve(d²/dt²(c(t))=0,t).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(c(7)\) berechnen; zusätzlich \(c(t)=20\) mit dem GTR (Graph, SHIFT F5, F5 INTSECT mit \(y=20\)) oder CAS (nSolve) lösen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(c(0)=160\cdot(1-1)=0\): Zu Beginn ist kein Koffein im Blut.

Die Menge steigt zunächst schnell an (Aufnahme überwiegt), erreicht nach knapp 2 Stunden ein Maximum von gut 110 mg und nimmt danach langsam ab; für große \(t\) nähert sie sich \(0\), weil nur noch der Abbau wirkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(c'(t)=160\bigl(-0{,}15\,e^{-0{,}15t}+1{,}5\,e^{-1{,}5t}\bigr)=0\Leftrightarrow1{,}5\,e^{-1{,}5t}=0{,}15\,e^{-0{,}15t}\Leftrightarrow e^{1{,}35t}=10\Leftrightarrow t_{\max}=\frac{\ln10}{1{,}35}\approx1{,}71\).

\(c'\) wechselt dort von \(+\) nach \(-\) (z. B. \(c'(0)=216>0\), \(c'(3)<0\)) ⇒ Maximum. \(c(t_{\max})\approx111{,}5\) mg.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(c''(t)=160\bigl(0{,}0225\,e^{-0{,}15t}-2{,}25\,e^{-1{,}5t}\bigr)=0\Leftrightarrow e^{1{,}35t}=100\Leftrightarrow t_W=\frac{\ln100}{1{,}35}=\frac{2\ln10}{1{,}35}=2\,t_{\max}\approx3{,}41\). Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\), \(c(t_W)\approx95{,}0\) mg.

Bedeutung: Etwa 3,4 Stunden nach dem Trinken nimmt die Koffeinmenge am schnellsten ab (\(c'(t_W)\approx-12{,}9\) mg pro Stunde); danach verlangsamt sich der Abbau.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(c(7)\approx56\) mg — um 23 Uhr ist noch fast dreimal so viel Koffein im Blut wie die Grenze von 20 mg. \(c(t)=20\) liefert \(t\approx13{,}9\) h, also erst gegen 6 Uhr morgens.

Stellungnahme: Im Modell ist der Kaffee um 16 Uhr ungünstig; spätestens gegen 9 Uhr morgens wäre er unproblematisch. Einschränkung: Abbaurate und Empfindlichkeit schwanken stark von Person zu Person — das Modell liefert nur eine Orientierung.