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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Welcher Faktor entsteht?
AFB IBei \(f(x)=a\cdot e^{mx+n}\) gilt \(f'(x)=m\cdot f(x)\). Ordnen Sie jede Funktion dem passenden Zusammenhang zu.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f′ = f
2f′ = 2 · f
3f′ = −f
4f′ = 0,5 · f
Es zählt nur die Steigung \(m\) der inneren Funktion. Der Vorfaktor \(a\) und der Summand \(n\) im Exponenten ändern den Zusammenhang nicht. Bei \(e^{2-x}\) ist \(m=-1\), bei \(e^{\frac x2}\) ist \(m=\frac12\).
Ansatz: Lesen Sie den Faktor vor \(x\) im Exponenten ab.Warum? Das ist die innere Ableitung \(m\).
Weiter: In \(2-x\) steht vor \(x\) eine \(-1\); \(\frac x2=0{,}5\,x\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie zur Kettenregel
AFB INennen Sie zu jeder Ableitung, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Merke: Äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung \(m\). Das gilt für jede äußere Funktion, auch für Potenzen wie \((3x-2)^{4}\).
Ansatz: Bestimmen Sie jeweils \(m\), die Ableitung der inneren Funktion.
Weiter: Ein Minus vor \(x\) heißt \(m=-1\) — das darf nicht verloren gehen.
A3
Steigung an einer Stelle
AFB IBerechnen Sie für \(f(x)=3e^{2x-4}\) die Steigung \(f'(1{,}5)\) auf zwei Nachkommastellen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(x)=3\cdot2\cdot e^{2x-4}=6e^{2x-4}\). \(f'(1{,}5)=6e^{-1}\approx2{,}21\). Wer die innere Ableitung vergisst, erhält \(3e^{-1}\approx1{,}10\) — genau die Hälfte.
Ansatz: Vorfaktor mal innere Ableitung: \(3\cdot2\).
Weiter: Exponent an der Stelle \(1{,}5\): \(2\cdot1{,}5-4=-1\).
A4
Funktion und Ableitung verbinden
AFB IIErmitteln Sie zu jeder Funktion die Ableitung und verbinden Sie.
Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Achten Sie auf zwei Minuszeichen bei \(-2e^{-x+3}\): \(-2\cdot(-1)=2\). Bei \(\frac14e^{4x}\) hebt die innere Ableitung den Vorfaktor genau auf — so findet man später Stammfunktionen.
Ansatz: Neuer Vorfaktor = alter Vorfaktor mal \(m\); der Exponent bleibt.
Weiter: Bei \((5-2x)^{3}\): äußere Ableitung \(3(5-2x)^{2}\), innere Ableitung \(-2\).
A5
Rechenkette: Tangente und Steigung
AFB II MixGegeben ist \(f(x)=3e^{0{,}5x-1}\). Stellen Sie die Tangente an der Stelle \(x=2\) auf und bestimmen Sie danach eine Stelle mit vorgegebener Steigung (zwei Nachkommastellen).
Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Funktionswert \(f(2)\)
- Steigung \(f'(2)\)
- y-Achsenabschnitt der Tangente
- Stelle \(x\), an der \(f'(x)=3\) gilt
\(f'(x)=1{,}5e^{0{,}5x-1}\). Tangente: \(y=1{,}5x\) — sie geht durch den Ursprung. Letzter Schritt mit dem ln aus 5.1.3: \(1{,}5e^{0{,}5x-1}=3\Rightarrow e^{0{,}5x-1}=2\Rightarrow0{,}5x-1=\ln2\Rightarrow x=2+2\ln2\approx3{,}39\).
Ansatz: Erst \(f'(x)=3\cdot0{,}5\cdot e^{0{,}5x-1}\) bilden, dann einsetzen.
Weiter: Für den letzten Schritt: durch \(1{,}5\) teilen, logarithmieren, nach \(x\) auflösen.
A6
Innen und außen
AFB IIDie Funktion ist \(f(x)=4e^{3-2x}\). Geben Sie die Bausteine der Kettenregel an.
Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.
Innere Funktion \(v(x)=\)
Äußere Funktion \(u(z)=\)
Innere Ableitung \(v'(x)=\)
Ableitung \(f'(x)=\)
Die Konstante \(3\) gehört zur inneren Funktion, der Vorfaktor \(4\) zur äußeren. Also \(f'(x)=4e^{3-2x}\cdot(-2)=-8e^{3-2x}\). Die Ableitung ist überall negativ: \(f\) fällt.
Ansatz: Was wird zuerst berechnet, wenn man eine Zahl für \(x\) einsetzt?
Weiter: Äußere Ableitung von \(4e^{z}\) ist \(4e^{z}\); an der Stelle \(z=3-2x\) einsetzen und mal \(v'\).
A7
Rückwärts: Wer hat diese Ableitung?
AFB IIGesucht sind Funktionen \(F\) mit \(F'(x)=6e^{2x}\). Untersuchen Sie jeden Kandidaten und markieren Sie alle passenden.
Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
Beim Ableiten kommt der Faktor \(2\) hinzu, also muss vorher durch \(2\) geteilt werden: \(3e^{2x}\). Eine Konstante wie \(-7\) fällt beim Ableiten weg. \(3e^{2}\cdot e^{2x-2}=3e^{2x}\) nach dem Potenzgesetz. \(12e^{2x}\) wäre die zweite Ableitung von \(3e^{2x}\).
Ansatz: Leiten Sie jeden Kandidaten ab und vergleichen Sie mit \(6e^{2x}\).
Weiter: Vereinfachen Sie \(e^{2}\cdot e^{2x-2}\) mit \(e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}\).
A8
Fehlersuche: zwei innere Ableitungen
AFB IIIMira leitet \(f(x)=2{,}5e^{-0{,}4x+2}+(3-x)^{2}\) ab. Überprüfen Sie ihre Lösung — zwei Zeilen sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
In Zeile 2 wurde mit der inneren Funktion statt mit der inneren Ableitung multipliziert. In Zeile 3 fehlt das Minus aus \(3-x\). Zeile 4 ist die korrekte Ableitung, Zeile 5 rechnet damit richtig: \(-0{,}4\cdot5+2=0\).
Ansatz: Womit muss man bei der Kettenregel multiplizieren — mit \(v(x)\) oder \(v'(x)\)?
Weiter: Welche Ableitung hat die innere Funktion \(3-x\)?
A9
Steigung im y-Achsenschnittpunkt
AFB IIIVergleichen Sie die Steigungen \(f'(0)\) und ordnen Sie von der kleinsten zur größten.
Ziehen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(f(x)=e^{-3x}\)
2\(f(x)=-e^{0{,}5x}\)
3\(f(x)=e^{2x-1}\)
4\(f(x)=4e^{0{,}3x}\)
5\(f(x)=e^{x+1}\)
Werte: \(-3\); \(-0{,}5\); \(2e^{-1}\approx0{,}74\); \(4\cdot0{,}3=1{,}2\); \(e\approx2{,}72\). Bei \(e^{2x-1}\) und \(e^{x+1}\) ist der Funktionswert bei \(0\) nicht \(1\) — die Steigung ist \(m\cdot f(0)\), nicht einfach \(m\).
Ansatz: Für \(f(x)=a\cdot e^{mx+n}\) ist \(f'(0)=a\cdot m\cdot e^{n}\).
Weiter: \(e^{-1}\approx0{,}37\) und \(e^{1}\approx2{,}72\).
A10
Ohne Term zur Steigung
AFB III TrickVon \(f(x)=a\cdot e^{kx}\) ist bekannt: \(f(0)=5\) und \(f'(0)=-1{,}5\). Bestimmen Sie \(f'(2)\) auf zwei Nachkommastellen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f(0)=a=5\). \(f'(x)=k\cdot a\cdot e^{kx}\), also \(f'(0)=5k=-1{,}5\Rightarrow k=-0{,}3\). Dann \(f'(2)=-1{,}5\cdot e^{-0{,}6}\approx-0{,}82\). Der Trick: \(f'(x)=k\cdot f(x)\) — das Gesetz aus 5.1.1 liefert \(k\) direkt als \(\frac{f'(0)}{f(0)}\).
Ansatz: Nutzen Sie \(f'(x)=k\cdot f(x)\) an der Stelle \(0\).
Weiter: \(k=\frac{-1{,}5}{5}\), dann \(f'(2)=k\cdot5\cdot e^{2k}\).