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Abituraufgaben: Die Kettenregel

Tangenten und Lichtabnahme — zwei Abituraufgaben zur Kettenregel.

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1

Tangenten an eine verschobene e-Funktion

AFB I–II

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=e^{2x-2}\). Ihr Graph verläuft durch den Punkt \(P(1\,|\,1)\).

Graph von f(x) = e²ˣ⁻² mit Tangente t im Punkt P(1 | 1)
−1−0,50,511,52−2246xyftP
Die Tangente t berührt den Graphen von f im Punkt P.
  1. Geben Sie \(f'(x)\) und \(f''(x)\) an.
  2. Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P\) auf.
  3. Zeigen Sie, dass die Tangente an der Stelle \(a\) die x-Achse stets bei \(x=a-\frac12\) schneidet.
  4. Bestimmen Sie exakt und gerundet die Stelle, an der der Graph von \(f\) die Steigung 1 hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Kettenregel mit innerer Ableitung \(m=2\); bei jedem Ableiten kommt der Faktor erneut hinzu.Angeben: ohne Rechnung nennen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Punkt-Steigungs-Form: \(y=f'(1)\,(x-1)+f(1)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Allgemeine Tangente \(y=2e^{2a-2}(x-a)+e^{2a-2}\) gleich null setzen; \(e^{2a-2}\) ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe d)
Gleichung \(2e^{2x-2}=1\) mit dem ln lösen. CAS: solve\((2\cdot e^{2x-2}=1,\,x)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f'(x)=2e^{2x-2}\), \(f''(x)=4e^{2x-2}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f(1)=e^{0}=1\), \(f'(1)=2\). \(t:\ y=2(x-1)+1=2x-1\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(0=e^{2a-2}\bigl(2(x-a)+1\bigr)\). Da \(e^{2a-2}>0\), muss \(2(x-a)+1=0\) gelten, also \(x=a-\frac12\). Für \(a=1\): Nullstelle von \(t\) bei \(x=0{,}5\) ✓.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(2e^{2x-2}=1\Rightarrow e^{2x-2}=\frac12\Rightarrow2x-2=-\ln2\Rightarrow x=1-\frac{\ln2}{2}\approx0{,}65\).

2

Licht unter Wasser

AFB II–III

In einem klaren See wird die Lichtintensität in Abhängigkeit von der Wassertiefe gemessen. Das Modell lautet \(I(x)=100\cdot e^{-0{,}35x}\) (\(x\) in Metern, \(I\) in Prozent der Intensität an der Oberfläche).

Lichtintensität im See (Modell)
3691220406080100x in mI in %I
I(x) in Prozent der Intensität an der Oberfläche, x = Wassertiefe in m
  1. Berechnen Sie \(I'(2)\) und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.
  2. Weisen Sie nach, dass \(I'(x)=-0{,}35\cdot I(x)\) gilt, und deuten Sie diese Beziehung.
  3. Wasserpflanzen brauchen mindestens 1 % des Oberflächenlichts. Ermitteln Sie die größte Tiefe, in der sie noch wachsen können.
  4. Eine Taucherin sagt: „Das Licht verliert pro Meter Tiefe 35 % seiner Stärke.“ Nehmen Sie Stellung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Kettenregel: \(I'(x)=100\cdot(-0{,}35)\cdot e^{-0{,}35x}\). Einheit: Prozentpunkte pro Meter.
Hinweis zu Aufgabe b)
Klammern Sie in \(I'(x)\) den Faktor \(-0{,}35\) aus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Gleichung \(100\cdot e^{-0{,}35x}=1\). GTR: \(Y2=1\), SHIFT F5 → F5 INTSECT; oder mit ln von Hand.Ermitteln: Weg frei wählbar.
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechnen Sie \(\frac{I(x+1)}{I(x)}\) und vergleichen Sie mit \(0{,}65\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(I'(x)=-35\,e^{-0{,}35x}\), \(I'(2)=-35\,e^{-0{,}7}\approx-17{,}4\). In 2 m Tiefe nimmt die Intensität momentan um etwa 17,4 Prozentpunkte pro Meter ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(I'(x)=-0{,}35\cdot100\,e^{-0{,}35x}=-0{,}35\cdot I(x)\). Die momentane Abnahme ist proportional zur vorhandenen Intensität: Wo noch viel Licht ist, nimmt es schnell ab, in der Tiefe nur noch langsam.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(e^{-0{,}35x}=0{,}01\Rightarrow x=\frac{\ln100}{0{,}35}\approx13{,}16\) m. Pflanzen können bis in etwa 13 m Tiefe wachsen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Von einem Meter zum nächsten gilt \(\frac{I(x+1)}{I(x)}=e^{-0{,}35}\approx0{,}705\): Das Licht verliert pro Meter etwa \(29{,}5\,\%\), nicht \(35\,\%\). Die \(0{,}35\) ist die momentane relative Abnahmerate, nicht die prozentuale Abnahme über einen ganzen Meter — die Aussage ist also nur grob richtig und überschätzt den Verlust. Vollständig ist die Antwort mit Rechnung, Unterscheidung von \(k\) und Prozentsatz und begründetem Urteil.