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Übung AFB II

Von Bakterien über Tee bis zur Bank: zehn Sachaufgaben, in denen die e-Funktion rechnet und du deutest.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben aus allen Unterkapiteln: Sachsituation übersetzen, ableiten, Gleichungen lösen, Ergebnisse deuten — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Bakterienkultur
AFB II

Eine Bakterienkultur wächst nach dem Modell \(N(t)=800\cdot e^{kt}\) (\(t\) in Stunden). Nach 3 Stunden zählt man 2000 Bakterien.

a) Stellen Sie die Gleichung für \(k\) auf und lösen Sie sie (vier Nachkommastellen). b) Wie viele Bakterien erwartet das Modell nach 8 Stunden?

Ansatz: \(800\cdot e^{3k}=2000\): erst durch \(800\) teilen, dann logarithmieren.
Rechenweg: \(e^{3k}=2{,}5\Rightarrow k=\frac{\ln2{,}5}{3}\); für b) \(N(8)=800\cdot e^{8k}\).
Lösung: a) \(k\approx0{,}3054\) b) \(N(8)\approx9210\)
Vollständige Lösung
\(e^{3k}=2{,}5\iff k=\frac{\ln2{,}5}{3}\approx0{,}3054\) pro Stunde. \(N(8)=800\cdot e^{8\cdot0{,}3054}\approx9210\) Bakterien. Hinweis: Mit dem ungerundeten \(k\) weiterrechnen, sonst weicht \(N(8)\) ab.
A2
Tangente an eine e-Funktion
AFB II

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(t(x)=m\cdot x+n\) an den Graphen von \(f(x)=2e^{0{,}5x}\) im Punkt \((0\,|\,2)\).

Ansatz: Steigung \(m=f'(0)\) mit der Kettenregel, dann \(n\) aus dem Punkt.
Rechenweg: \(f'(x)=2\cdot0{,}5\cdot e^{0{,}5x}=e^{0{,}5x}\), \(f'(0)=1\); \(2=1\cdot0+n\).
Lösung: \(t(x)=x+2\)
Vollständige Lösung
\(f'(x)=e^{0{,}5x}\Rightarrow m=f'(0)=1\). Punkt einsetzen: \(2=1\cdot0+n\Rightarrow n=2\). Tangente: \(t(x)=x+2\).
A3
Tiefpunkt eines Produkts
AFB II

Bestimmen Sie den Extrempunkt von \(f(x)=(x-1)\cdot e^{x}\).

Ansatz: Produktregel, e-Faktor ausklammern, \(f'(x)=0\) setzen.
Rechenweg: \(f'(x)=e^{x}+(x-1)e^{x}=x\,e^{x}\); \(x\,e^{x}=0\iff x=0\); Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\).
Lösung: Tiefpunkt \(T(0\,|\,-1)\)
Vollständige Lösung
\(f'(x)=x\,e^{x}=0\iff x=0\). Für \(x<0\) ist \(f'<0\), für \(x>0\) ist \(f'>0\): Tiefpunkt. \(f(0)=(0-1)\cdot1=-1\), also \(T(0\,|\,-1)\).
A4
Wendepunkt finden
AFB II

Untersuchen Sie \(f(x)=x\cdot e^{-0{,}5x}\) auf Wendepunkte. Geben Sie die Koordinaten an (\(y\) auf zwei Nachkommastellen).

Ansatz: Zweimal ableiten (Produkt- und Kettenregel), jeweils \(e^{-0{,}5x}\) ausklammern.
Rechenweg: \(f'(x)=(1-0{,}5x)\,e^{-0{,}5x}\), \(f''(x)=(0{,}25x-1)\,e^{-0{,}5x}\).
Lösung: \(W(4\,|\,4e^{-2})\approx(4\,|\,0{,}54)\)
Vollständige Lösung
\(f''(x)=(0{,}25x-1)\,e^{-0{,}5x}=0\iff x=4\); der Faktor \(0{,}25x-1\) wechselt dort das Vorzeichen. \(f(4)=4e^{-2}\approx0{,}54\). Wendepunkt \(W(4\,|\,0{,}54)\).
A5
Wirkstoff im Blut
AFB II

Die Konzentration eines Wirkstoffs sinkt nach \(c(t)=12\cdot e^{-0{,}2t}\) (in mg/l, \(t\) in Stunden).

Lösen Sie: a) Wann unterschreitet \(c\) den Wert 3 mg/l? b) Wie groß ist die Halbwertszeit? (jeweils zwei Nachkommastellen)

h
h
Ansatz: a) \(12e^{-0{,}2t}=3\); b) \(e^{-0{,}2T}=0{,}5\).
Rechenweg: a) \(e^{-0{,}2t}=0{,}25\Rightarrow t=\frac{\ln0{,}25}{-0{,}2}\); b) \(T=\frac{\ln2}{0{,}2}\).
Lösung: a) \(t\approx6{,}93\) h b) \(T\approx3{,}47\) h
Vollständige Lösung
a) \(e^{-0{,}2t}=\frac14\iff-0{,}2t=\ln\frac14\iff t=\frac{\ln4}{0{,}2}\approx6{,}93\) h. b) \(T_{1/2}=\frac{\ln2}{0{,}2}\approx3{,}47\) h. Kontrolle: \(6{,}93\) h sind genau zwei Halbwertszeiten, \(12\to6\to3\).
A6
Zwei Sparmodelle
AFB II

Bank A verzinst 5000 € jährlich mit 4 %: \(A(t)=5000\cdot1{,}04^{t}\). Bank B wirbt mit „stetiger Verzinsung“: \(B(t)=5000\cdot e^{0{,}038t}\).

a) Schreiben Sie \(A\) in der Form \(5000\cdot e^{kt}\) (\(k\) auf fünf Nachkommastellen). b) Vergleichen Sie die Guthaben nach 10 Jahren: Um wie viel Euro liegt A vorn?

€
Ansatz: \(k=\ln1{,}04\); für b) beide Terme bei \(t=10\) auswerten.
Rechenweg: \(A(10)=5000\cdot1{,}04^{10}\), \(B(10)=5000\cdot e^{0{,}38}\).
Lösung: a) \(k\approx0{,}03922\) b) etwa \(89{,}80\) €
Vollständige Lösung
a) \(1{,}04^{t}=e^{t\ln1{,}04}\), \(k=\ln1{,}04\approx0{,}03922>0{,}038\). b) \(A(10)\approx7401{,}22\) €, \(B(10)\approx7311{,}42\) €, Differenz \(\approx89{,}80\) €. Bank A ist besser, weil ihre Wachstumskonstante größer ist.
A7
Tee kühlt ab
AFB II

Ein Tee hat 90 °C, der Raum 20 °C. Seine Temperatur folgt \(T(t)=20+70\cdot e^{-0{,}08t}\) (\(t\) in Minuten).

Berechnen Sie a) die Temperatur nach 10 Minuten und b) den Zeitpunkt, zu dem der Tee 40 °C hat (jeweils zwei Nachkommastellen).

°C
min
Ansatz: a) einsetzen; b) \(20+70e^{-0{,}08t}=40\) nach \(t\) auflösen.
Rechenweg: b) \(70e^{-0{,}08t}=20\Rightarrow e^{-0{,}08t}=\frac27\Rightarrow t=\frac{\ln3{,}5}{0{,}08}\).
Lösung: a) \(\approx51{,}45\) °C b) \(t\approx15{,}66\) min
Vollständige Lösung
a) \(T(10)=20+70e^{-0{,}8}\approx51{,}45\) °C. b) \(e^{-0{,}08t}=\frac{20}{70}\iff t=-\frac{\ln(2/7)}{0{,}08}=\frac{\ln3{,}5}{0{,}08}\approx15{,}66\) min.
A8
Radioaktive Probe
AFB II

Ein Zählrohr misst an einer Probe zu Beginn 150 Impulse pro Sekunde, nach 4 Stunden noch 90.

Werten Sie die Messung mit dem Modell \(A(t)=150\cdot e^{kt}\) aus: a) \(k\) (vier Nachkommastellen) b) Halbwertszeit (zwei Nachkommastellen).

h
Ansatz: \(150e^{4k}=90\Rightarrow e^{4k}=0{,}6\).
Rechenweg: \(k=\frac{\ln0{,}6}{4}\); \(T_{1/2}=\frac{\ln2}{|k|}\).
Lösung: a) \(k\approx-0{,}1277\) b) \(T_{1/2}\approx5{,}43\) h
Vollständige Lösung
\(e^{4k}=0{,}6\iff k=\frac{\ln0{,}6}{4}\approx-0{,}1277\) pro Stunde. \(T_{1/2}=\frac{\ln2}{0{,}1277}\approx5{,}43\) h. Das negative \(k\) zeigt die Abnahme.
A9
Schnittstellen mit dem GTR
AFB II

Überprüfen Sie mit dem GTR, wo sich die Graphen von \(y=e^{x}\) und \(y=3x\) schneiden (drei Nachkommastellen, kleinere Stelle zuerst).

Ansatz: Die Gleichung \(e^{x}=3x\) lässt sich nicht nach \(x\) umstellen — grafisch lösen.
Rechenweg: fx-CG50: \(Y1=e^{X}\), \(Y2=3X\), DRAW, dann SHIFT F5 (G-SOLVE), F5 (INTSECT), mit ▶ zum zweiten Schnittpunkt.
Lösung: \(x_1\approx0{,}619\), \(x_2\approx1{,}512\)
Vollständige Lösung
Mit G-SOLVE INTSECT: \(x_1\approx0{,}619\) und \(x_2\approx1{,}512\). Probe: \(e^{0{,}619}\approx1{,}857\approx3\cdot0{,}619\). Weitere Schnittpunkte gibt es nicht: Für große \(x\) wächst \(e^{x}\) schneller, für \(x<0\) ist \(3x<0<e^{x}\).
A10
Follower-Wachstum
AFB II

Die Follower-Zahl eines Kanals wird durch \(N(t)=2000\cdot e^{0{,}15t}\) beschrieben (\(t\) in Monaten).

a) Berechnen Sie \(N'(5)\) (eine Nachkommastelle) und interpretieren Sie den Wert. b) Ab wann kommen mehr als 1000 Follower pro Monat hinzu? (zwei Nachkommastellen)

pro Monat
Monate
Ansatz: \(N'(t)=0{,}15\cdot2000\cdot e^{0{,}15t}=300\,e^{0{,}15t}\).
Rechenweg: a) \(t=5\) einsetzen; b) \(300e^{0{,}15t}=1000\) lösen.
Lösung: a) \(\approx635{,}1\) Follower pro Monat b) \(t\approx8{,}03\) Monate
Vollständige Lösung
a) \(N'(5)=300e^{0{,}75}\approx635{,}1\): Nach 5 Monaten wächst der Kanal momentan um etwa 635 Follower pro Monat. b) \(e^{0{,}15t}=\frac{10}{3}\iff t=\frac{\ln(10/3)}{0{,}15}\approx8{,}03\) Monate.