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Übungen: Die Produktregel

Zehn Übungen zu u′v + uv′ — vom Zuordnen bis zur Tangente.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.

A1
Welche Regel brauche ich?
AFB I Mix

Nicht jeder Term mit einem Malzeichen braucht die Produktregel. Ordnen Sie jede Funktion der Regel zu, die zum Ableiten mindestens nötig ist.

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Produktregel
2Faktor- oder Kettenregel reicht
3Summenregel reicht
Die Produktregel braucht man nur, wenn beide Faktoren von \(x\) abhängen. Zahlfaktoren wie \(3\) oder \(8\) regelt die Faktorregel. Vorsicht bei \(e^{x}\cdot e^{x}\): Das ist \(e^{2x}\) — Kettenregel genügt (die Produktregel liefert dasselbe, nur umständlicher). Bei Summen leitet man jeden Summanden einzeln ab.
Ansatz: Fragen Sie bei jedem Malzeichen: Steht links und rechts davon ein x?
Weiter: Potenzgesetz nicht vergessen: \(e^{x}\cdot e^{x}=e^{x+x}\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}\cdot e^{x}\). Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Wer den e-Faktor und zusätzlich \(x^{2}\) ausklammert, erhält \(f^{\prime}(x)=x^{2}(x+3)\,e^{x}\) und liest die Nullstellen \(x=0\) und \(x=-3\) von \(f^{\prime}\) direkt ab.
Ansatz: Leiten Sie zuerst selbst ab: \(u=x^{3}\), \(v=e^{x}\).
Weiter: Für die letzte Aussage \(f^{\prime}(1)\) einsetzen — \(e^{1}\) ist nicht \(1\).
A3
Produktregel Schritt für Schritt
AFB I

Es soll \(f(x)=(2x+5)\cdot e^{-3x}\) abgeleitet werden. Geben Sie in jedem Schritt den passenden Term an.

Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.

\(u(x)=2x+5\;\Rightarrow\;u'(x)=\)

\(v(x)=e^{-3x}\;\Rightarrow\;v'(x)=\)

\(f'(x)=u'v+uv'=\)

\(f'(0)=\)

\(f^{\prime}(x)=2e^{-3x}+(2x+5)\cdot(-3)e^{-3x}=(2-6x-15)\,e^{-3x}=(-6x-13)\,e^{-3x}\). Der häufigste Fehler ist \((-6x-3)\): Dabei wurde die \(5\) nicht mit \(-3\) multipliziert — Klammer setzen!
Ansatz: Für \(v^{\prime}\) die Kettenregel: innere Ableitung von \(-3x\) ist \(-3\).
Weiter: \((2x+5)\cdot(-3)=-6x-15\). Dann \(2-15=-13\).
A4
Funktion und Ableitung
AFB II

Bestimmen Sie die Ableitungen mit der Produktregel und verbinden Sie jede Funktion mit ihrer Ableitung (e-Faktor bereits ausgeklammert).

Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Muster: \(\left(p(x)\cdot e^{kx}\right)^{\prime}=\left(p^{\prime}(x)+k\cdot p(x)\right)e^{kx}\). Bei d) ergibt sich \(x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}\) — die Ableitung wird nie negativ, der Graph steigt überall (bei \(x=-1\) nur kurz waagerecht).
Ansatz: Klammer der Ableitung = \(p^{\prime}(x)+k\cdot p(x)\), wenn \(f=p(x)\cdot e^{kx}\).
Weiter: Bei \(e^{-x}\) ist \(k=-1\): \(4+(-1)\cdot4x=4-4x\).
A5
Wertetabelle für f und f′
AFB II

Für \(f(x)=(2x-1)\cdot e^{x}\) gilt \(f^{\prime}(x)=(2x+1)\cdot e^{x}\). Erstellen Sie die Tabelle (drei Nachkommastellen) — prüfen Sie dabei auch die Ableitung.

Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
\(x\)−0,501
\(f(x)\)−1
\(f'(x)\)
\(f^{\prime}(x)=2e^{x}+(2x-1)e^{x}=(2x+1)\,e^{x}\) stimmt. Bei \(x=-0{,}5\) ist \(f^{\prime}=0\): Dort liegt der Tiefpunkt \((-0{,}5\,|\,-1{,}213)\). Bei \(x=1\) ist die Steigung dreimal so groß wie der Funktionswert, weil \(\frac{2x+1}{2x-1}=3\).
Ansatz: Mit dem GTR: MENU 7 (Tabelle), Y1 und Y2 eintragen, Start \(-0{,}5\), Schrittweite \(0{,}5\).
Weiter: \(e^{-0{,}5}\approx0{,}6065\), also \(f(-0{,}5)=-2\cdot0{,}6065\approx-1{,}213\).
A6
Fehlersuche: Toms Ableitung
AFB II

Tom soll die Stellen mit waagerechter Tangente von \(f(x)=x^{2}\cdot e^{3x}\) finden. Überprüfen Sie seine Lösung — zwei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
\((u\cdot v)^{\prime}\neq u^{\prime}\cdot v^{\prime}\) — der Fehler lässt einen ganzen Summanden verschwinden und damit hier die Lösung \(x=-\frac23\). Kontrolle: \(f^{\prime}(-\frac23)=\frac49\cdot e^{-2}\cdot(-2+2)=0\).
Ansatz: Welche Zeile wendet die Produktregel falsch an?
Weiter: Mit der richtigen Ableitung \(x\) ausklammern: \(2x+3x^{2}=x(3x+2)\).
A7
Steigung an einer Stelle
AFB II

Ermitteln Sie die Steigung des Graphen von \(f(x)=(x^{2}+x)\cdot e^{-2x}\) an der Stelle \(x=1\) (vier Nachkommastellen).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f^{\prime}(x)=(2x+1)\,e^{-2x}+(x^{2}+x)\cdot(-2)\,e^{-2x}=(1-2x^{2})\,e^{-2x}\). Also \(f^{\prime}(1)=-e^{-2}\approx-0{,}1353\). Der Graph fällt dort leicht, obwohl \(f(1)=2e^{-2}>0\).
Ansatz: \(u=x^{2}+x\), \(v=e^{-2x}\), \(v^{\prime}=-2e^{-2x}\).
Weiter: Zusammenfassen: \(2x+1-2x^{2}-2x=1-2x^{2}\); bei \(x=1\) bleibt \(-1\cdot e^{-2}\).
A8
Rechenkette: Tangente
AFB III

Stellen Sie die Tangente an den Graphen von \(f(x)=(x+3)\cdot e^{-x}\) im Punkt \(P(1\,|\,f(1))\) auf und untersuchen Sie ihre Achsenschnittpunkte (vier Nachkommastellen, Nullstelle auf drei).

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. f(1)
  2. Steigung f′(1)
  3. y-Achsenabschnitt der Tangente
  4. Nullstelle der Tangente
\(f^{\prime}(x)=e^{-x}-(x+3)e^{-x}=(-x-2)\,e^{-x}\), also \(f^{\prime}(1)=-3e^{-1}\). Tangente: \(t(x)=-\frac3e(x-1)+\frac4e=-\frac3e x+\frac7e\). Nullstelle: \(3x=7\Rightarrow x=\frac73\approx2{,}333\) — schön, dass sich \(e\) herauskürzt.
Ansatz: Punkt-Steigungs-Form: \(t(x)=f^{\prime}(1)\cdot(x-1)+f(1)\).
Weiter: Exakt rechnen: \(f(1)=\frac4e\), \(f^{\prime}(1)=-\frac3e\). Dann ist \(b=\frac4e+\frac3e\).
A9
Was folgt aus der Ableitung?
AFB III

Gegeben ist \(f(x)=(x^{2}-3)\cdot e^{x}\). Entscheiden Sie, welche Aussagen zutreffen, und markieren Sie alle.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
\(f^{\prime}(x)=2x\,e^{x}+(x^{2}-3)\,e^{x}=(x^{2}+2x-3)\,e^{x}=(x+3)(x-1)\,e^{x}\). \(f^{\prime}(0)=-3\). Bei \(x=\sqrt3\) ist \(f^{\prime}(\sqrt3)=2\sqrt3\,e^{\sqrt3}\approx19{,}6>0\) — der Graph steigt dort steil.
Ansatz: Leiten Sie ab und klammern Sie \(e^{x}\) aus; dann die Klammer faktorisieren.
Weiter: Für \(x=\sqrt3\): \(3+2\sqrt3-3=2\sqrt3>0\).
A10
Erst denken, dann ableiten
AFB III Trick

Berechnen Sie \(f^{\prime}(\ln2)\) für \(f(x)=(e^{x}+1)\cdot(e^{x}-1)\).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Mit der Produktregel: \(f^{\prime}(x)=e^{x}(e^{x}-1)+(e^{x}+1)e^{x}=2e^{2x}\). Schneller mit der 3. binomischen Formel: \(f(x)=e^{2x}-1\Rightarrow f^{\prime}(x)=2e^{2x}\). Wegen \(e^{2\ln2}=\left(e^{\ln2}\right)^{2}=4\) folgt \(f^{\prime}(\ln2)=8\).
Ansatz: Vor dem Ableiten vereinfachen: \((a+1)(a-1)=a^{2}-1\).
Weiter: \(e^{2\ln2}=\left(e^{\ln2}\right)^{2}=2^{2}\).