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Abituraufgaben: Die Produktregel

Tangente, Hochpunkt und Umsatz — zwei Abituraufgaben zur Produktregel.

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Eine Funktion mit Hochpunkt

AFB I–II

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=(2x+1)\cdot e^{-x}\), \(x\in\mathbb R\). Die Abbildung zeigt ihren Graphen und eine Tangente \(t\).

Graph von f mit Tangente t (Skizze)
−1123456−112xyGft
f(x) = (2x + 1) · e−x
  1. Zeigen Sie mit der Produktregel, dass \(f^{\prime}(x)=(1-2x)\cdot e^{-x}\) gilt.
  2. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(t\) an den Graphen im Punkt \((0\,|\,f(0))\) und ihren Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.
  3. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph eine waagerechte Tangente hat.
  4. Begründen Sie, dass der Graph für \(x>0{,}5\) fällt, die \(x\)-Achse dort aber nicht schneidet.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(u=2x+1\), \(v=e^{-x}\); am Ende \(e^{-x}\) ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe b)
Punkt-Steigungs-Form mit \(f(0)\) und \(f^{\prime}(0)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(f^{\prime}(x)=0\) mit dem Satz vom Nullprodukt — \(e^{-x}\) ist nie \(0\).Berechnen: Ergebnis aus einem Ansatz durch Rechnung gewinnen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Vorzeichen von \(1-2x\) und von \(2x+1\) für \(x>0{,}5\) untersuchen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(u^{\prime}=2\), \(v^{\prime}=-e^{-x}\): \(f^{\prime}(x)=2e^{-x}+(2x+1)(-e^{-x})=(2-2x-1)\,e^{-x}=(1-2x)\,e^{-x}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f(0)=1\), \(f^{\prime}(0)=1\) \(\Rightarrow t(x)=x+1\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((-1\,|\,0)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\((1-2x)\,e^{-x}=0\Leftrightarrow x=0{,}5\). \(f(0{,}5)=2e^{-0{,}5}\approx1{,}213\). Punkt \((0{,}5\,|\,1{,}213)\) — laut Skizze ein Hochpunkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für \(x>0{,}5\) ist \(1-2x<0\) und \(e^{-x}>0\), also \(f^{\prime}(x)<0\): Der Graph fällt. Zugleich ist \(2x+1>0\) und \(e^{-x}>0\), also \(f(x)>0\): keine Nullstelle. (Die einzige Nullstelle ist \(x=-0{,}5\).) Der Graph nähert sich für \(x\to\infty\) der \(x\)-Achse nur an.

2

Preiserhöhung beim Streamingdienst

AFB II–III

Ein Streamingdienst erhöht seinen Monatspreis schrittweise: \(p(t)=8+0{,}8t\) (in €, \(t\) in Monaten seit Beginn der Erhöhungen). Dadurch sinkt die Zahl der Abonnenten gemäß \(A(t)=50\cdot e^{-0{,}05t}\) (in Tausend). Der monatliche Umsatz ist \(U(t)=p(t)\cdot A(t)\) (in Tausend €).

  1. Stellen Sie den Term von \(U(t)\) auf und geben Sie den Umsatz zu Beginn an.
  2. Leiten Sie mit der Produktregel \(U^{\prime}(t)=(20-2t)\cdot e^{-0{,}05t}\) her. Deuten Sie die beiden Summanden \(p^{\prime}\cdot A\) und \(p\cdot A^{\prime}\) für \(t=4\) im Sachzusammenhang.
  3. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem der Umsatz am größten ist, und den maximalen Umsatz.
  4. Die Geschäftsführung argumentiert: „Nach zwei Jahren liegt der Umsatz immer noch über dem Startwert — wir setzen die Erhöhungen unbegrenzt fort.“ Beurteilen Sie diese Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Produkt der beiden Terme; \(U(0)=p(0)\cdot A(0)\).Aufstellen: Term aus dem Text entwickeln.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(p^{\prime}=0{,}8\), \(A^{\prime}=-2{,}5\,e^{-0{,}05t}\). Ein Summand beschreibt die Wirkung der Preiserhöhung, der andere die des Kundenverlusts.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(U^{\prime}(t)=0\) mit dem Satz vom Nullprodukt; Vorzeichenwechsel von \(20-2t\) prüfen. GTR: SHIFT F5 (G-SOLVE) → F2 (MAX).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(U(24)\) berechnen; wann fällt \(U\) unter \(400\)? GTR: \(Y2=400\), SHIFT F5 → F5 (INTSECT); CAS: nSolve(u(t)=400,t,20). Langfristiges Verhalten bedenken.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(U(t)=(8+0{,}8t)\cdot50\,e^{-0{,}05t}=(400+40t)\,e^{-0{,}05t}\). \(U(0)=400\): zu Beginn \(400\,000\) € pro Monat.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(U^{\prime}=0{,}8\cdot50e^{-0{,}05t}+(8+0{,}8t)(-2{,}5)e^{-0{,}05t}=(40-20-2t)\,e^{-0{,}05t}=(20-2t)\,e^{-0{,}05t}\).

\(t=4\): \(p^{\prime}A\approx32{,}7\) — Mehrumsatz pro Monat durch den höheren Preis bei gleicher Kundenzahl; \(pA^{\prime}\approx-22{,}9\) — Umsatzverlust durch abwandernde Kunden bei gleichem Preis. Summe \(U^{\prime}(4)\approx9{,}8\): Der Umsatz wächst noch um etwa \(9\,800\) € pro Monat.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(20-2t=0\Leftrightarrow t=10\); \(U^{\prime}\) wechselt dort von \(+\) nach \(-\). \(U(10)=800\,e^{-0{,}5}\approx485{,}2\): Nach 10 Monaten ist der Umsatz mit etwa \(485\,200\) € maximal.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(U(24)\approx409{,}6>400\) — die Beobachtung stimmt. Aber \(U\) fällt seit \(t=10\), unterschreitet bei \(t\approx25{,}1\) den Startwert und geht wegen der Dominanz von \(e^{-0{,}05t}\) langfristig gegen \(0\) (z. B. \(U(60)\approx139\)). Unbegrenzte Erhöhungen sind im Modell schädlich; sinnvoll wäre, die Erhöhungen um \(t=10\) zu stoppen. Zudem ist fraglich, ob das Modell für große \(t\) gilt. Vollständig ist die Antwort, wenn Beobachtung bestätigt, Trend widerlegt und eine Empfehlung begründet wird.