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Lernkarten

30 Karten zu Basis e, Ableitungsregeln und Wachstumsmodellen — umdrehen, abhaken, bis der Stapel leer ist.

0 / 30 Karten als gelernt markiert
Filter:
01
Formel
Exponentielles Wachstum
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( f'(t)=k\cdot f(t) \)Wachstumsgeschwindigkeit proportional zum Bestand
02
Formel
Ableitung der e-Funktion
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( (e^x)'=e^x \)gilt nur für die Basis \( e\approx2{,}718 \)
03
Formel
Natürlicher Logarithmus
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( e^{\ln y}=y,\ \ \ln(e^x)=x \)\( \ln y \) nur für \( y>0 \) definiert
04
Formel
Exponentialgleichung
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( e^{kx}=c\iff x=\tfrac{\ln c}{k} \)nur für \( c>0 \) lösbar
05
Formel
Verdopplungs- und Halbwertszeit
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( T=\tfrac{\ln2}{|k|} \)aus \( e^{kT}=2 \) bzw. \( \tfrac12 \)
06
Formel
Rechengesetze des ln
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( \ln(uv)=\ln u+\ln v,\ \ln(u^r)=r\ln u \)aber: \( \ln(u+v) \) lässt sich nicht zerlegen
07
Formel
Kettenregel (linear innen)
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( \left(e^{mx+n}\right)'=m\,e^{mx+n} \)allgemein \( g(mx+n)\mapsto m\,g'(mx+n) \)
08
Formel
Basis a umschreiben
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( a^x=e^{x\cdot\ln a} \)Wachstumskonstante \( k=\ln a \)
09
Formel
Ableitung von aˣ
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( (a^x)'=\ln a\cdot a^x \)z. B. \( (2^x)'\approx0{,}693\cdot2^x \)
10
Formel
Produktregel
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( (u\cdot v)'=u'v+uv' \)danach e-Faktor ausklammern
11
Formel
Polynom mal e-Faktor
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( \big(p\,e^{kx}\big)'=(p'+kp)\,e^{kx} \)Form bleibt beim Ableiten erhalten
12
Formel
Satz vom Nullprodukt
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( p(x)\cdot e^{v(x)}=0\iff p(x)=0 \)weil \( e^{v(x)}>0 \)
13
Formel
Begrenztes Wachstum (Änderungsrate)
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( f'(t)=k\,(S-f(t)) \)Rate proportional zum Abstand zur Schranke
14
Formel
Begrenztes Wachstum (Term)
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( f(t)=S-(S-f(0))\,e^{-kt} \)Asymptote \( y=S \)
15
Formel
k aus zwei Punkten
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( k=\tfrac{\ln(y_2/y_1)}{t_2-t_1} \)dann \( a=y_1\,e^{-kt_1} \)
16
Formel
Tangente an der Stelle x₀
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( t(x)=f'(x_0)\,(x-x_0)+f(x_0) \)Steigung aus der Ableitung
17
Begriff
Wachstumsgeschwindigkeit
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Momentane Änderungsrate \( f'(t) \) eines Bestands — geometrisch die Tangentensteigung.
18
Begriff
Wachstumskonstante k
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Proportionalitätsfaktor in \( f'=k\cdot f \); Einheit 1 pro Zeiteinheit. \( k>0 \) Wachstum, \( k<0 \) Zerfall.
19
Begriff
Eulersche Zahl
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Die irrationale Zahl \( e=2{,}71828\ldots \), für die \( (e^x)'=e^x \) gilt.
20
Begriff
Natürliche Exponentialfunktion
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( f(x)=e^x \): positiv, streng monoton steigend, linksgekrümmt, Asymptote \( y=0 \) für \( x\to-\infty \).
21
Begriff
Umkehrfunktion
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Vertauscht Ursache und Wirkung: \( \ln \) macht \( e^x \) rückgängig; Graph an \( y=x \) gespiegelt.
22
Begriff
Innere und äußere Funktion
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Bei \( f(x)=u(v(x)) \) wird zuerst \( v \) (innen), dann \( u \) (außen) angewendet.
23
Begriff
Dominanz der e-Funktion
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
\( e^x \) wächst schneller als jede Potenz \( x^n \): \( x^n e^{-x}\to0 \) für \( x\to\infty \).
24
Begriff
Globalverhalten
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Verhalten von \( f(x) \) für \( x\to\pm\infty \); bei Polynom mal e-Faktor entscheidet der e-Faktor.
25
Begriff
Wendestelle
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Stelle mit \( f''=0 \) und Vorzeichenwechsel von \( f'' \); dort ändert sich \( f \) am stärksten.
26
Begriff
Schranke S
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Wert, dem sich ein begrenzter Bestand beliebig nähert, ohne ihn zu erreichen.
27
Begriff
Asymptote
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Gerade, der sich ein Graph für \( x\to\pm\infty \) beliebig nähert, z. B. \( y=S \).
28
Begriff
Exponentielle Regression
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Bestimmt aus allen Messpunkten die best passende Funktion \( a\cdot e^{bx} \) (fx-CG50) bzw. \( a\cdot b^x \) (TI-Nspire).
29
Begriff
Bestimmtheitsmaß r²
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Maß für die Passung einer Regression; nahe 1 heißt: Punkte liegen dicht an der Kurve.
30
Begriff
Gültigkeitsbereich
→ klicken zum Umdrehen
Antwort
Zeitraum oder Wertebereich, in dem ein Modell die Wirklichkeit ausreichend genau beschreibt.
i
Geh den Stapel dreimal durch: erst alle Karten, dann nur die Formeln, zuletzt nur die ungelernten. Sag die Antwort laut — bei Formeln mit einem eigenen Zahlenbeispiel —, bevor du umdrehst.