Der natürliche Logarithmus: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Wo liegt die Lösung?

AFB I

Ordnen Sie jede Gleichung danach zu, ob ihre Lösung positiv ist, null oder negativ ist — oder ob es gar keine gibt.

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Lösung x > 0

2Lösung x ≤ 0

3keine Lösung

\(\ln x=-4\) hat die positive Lösung \(x=e^{-4}\approx0{,}018\) — ein negativer Logarithmus heißt nicht, dass \(x\) negativ ist. \(3e^{x}=0{,}5\) führt auf \(x=\ln\frac16\approx-1{,}79\), \(e^{-x}=4\) auf \(x=-\ln4\). Gleichungen mit \(e^{\ldots}\le0\) sind unlösbar, weil \(e^{x}\) immer positiv ist.

Ansatz: Isolieren Sie die Potenz: Ist die rechte Seite \(\le0\), gibt es keine Lösung.Warum? Die e-Funktion nimmt nur positive Werte an.

Weiter: \(e^{x}=c\) hat eine positive Lösung genau dann, wenn \(c>1\). Bei \(\ln x=c\) ist \(x=e^{c}\) immer positiv.

A2

Stimmt's? — Fünferserie zum ln

AFB I

Nennen Sie zu jeder Aussage über den natürlichen Logarithmus, ob sie stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die drei Rechengesetze machen aus Produkten Summen, aus Quotienten Differenzen und aus Potenzen Vielfache. Für Summen im Argument gibt es kein Gesetz.

Ansatz: Denken Sie an die Definition: \(\ln y\) ist die Zahl \(x\) mit \(e^{x}=y\).

Weiter: Prüfen Sie Zweifelsfälle mit dem Rechner, z. B. \(\ln8\) und \(3\ln2\).

A3

Erst teilen, dann logarithmieren

AFB I

Lösen Sie die Gleichung \(3e^{2x}=48\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(3e^{2x}=48\;|:3\Rightarrow e^{2x}=16\;|\ln\Rightarrow2x=\ln16\Rightarrow x=\frac{\ln16}{2}=\ln4\approx1{,}39\). Probe: \(3e^{2\cdot1{,}386}\approx48\).

Ansatz: Die Potenz muss allein stehen, bevor Sie logarithmieren.

Weiter: Nach \(:3\) steht \(e^{2x}=16\); \(\ln\) auf beide Seiten holt \(2x\) herunter.

A4

Verdopplungs- und Halbwertszeiten

AFB II

Für \(f(t)=a\cdot e^{kt}\) gilt \(T_{2}=\frac{\ln2}{k}\) für \(k>0\) und \(T_{1/2}=\frac{\ln2}{|k|}\) für \(k<0\). Berechnen Sie die fehlenden Werte (zwei bzw. vier Nachkommastellen).

Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

	Prozess A	Prozess B	Prozess C	Prozess D
Art	Wachstum	Wachstum	Zerfall	Wachstum
\(k\)	0,05	0,12	−0,2
\(T\)				10

Doppeltes \(k\) heißt halbe Verdopplungszeit: \(T\cdot k=\ln2\approx0{,}693\) ist immer gleich. Prozess D rückwärts: \(k=\frac{\ln2}{10}\approx0{,}0693\).

Ansatz: In jeder Spalte gilt \(T\cdot|k|=\ln2\).

Weiter: Für Prozess C den Betrag \(|k|=0{,}2\) nehmen, für D nach \(k\) umstellen.

A5

Rechenkette: Wirkstoff im Blut

AFB II

Nach einer Injektion wird die Wirkstoffkonzentration durch \(c(t)=12\cdot e^{-0{,}23t}\) beschrieben (\(c\) in mg/l, \(t\) in Stunden). Ermitteln Sie die Größen nacheinander (zwei Nachkommastellen).

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Anfangskonzentration mg/l
Zeitpunkt, zu dem nur noch 6 mg/l im Blut sind h
Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf 1 mg/l gesunken ist h
Konzentration nach 8 Stunden mg/l

Schritt 2: \(e^{-0{,}23t}=0{,}5\Rightarrow t=\frac{\ln0{,}5}{-0{,}23}=\frac{\ln2}{0{,}23}\approx3{,}01\) — die Halbwertszeit. Schritt 3: \(e^{-0{,}23t}=\frac1{12}\Rightarrow t=\frac{\ln12}{0{,}23}\approx10{,}80\). Achten Sie auf das Vorzeichen: \(\ln\) einer Zahl unter 1 ist negativ, geteilt durch \(-0{,}23\) wird es positiv.

Ansatz: Setzen Sie \(c(t)\) gleich dem Zielwert, teilen Sie durch 12 und logarithmieren Sie.

Weiter: Bei Schritt 4 wird nichts gelöst, nur eingesetzt: \(12\cdot e^{-0{,}23\cdot8}\).

A6

Lösungsweg im Lückentext

AFB II

Stellen Sie den Lösungsweg für \(5\cdot e^{0{,}3x}-2=18\) dar, indem Sie die Lücken füllen. Nicht alle Bausteine werden gebraucht.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zuerst rechnet man und erhält \(5e^{0{,}3x}=20\). Dann , sodass \(e^{0{,}3x}=4\) allein steht. Jetzt wendet man auf beide Seiten an: \(0{,}3x=\) . Division durch \(0{,}3\) liefert \(x\approx\) .

Die Reihenfolge ist wie beim Auflösen jeder Gleichung: erst Summanden weg, dann Faktoren, zuletzt die Potenz „knacken“. Wer zu früh logarithmiert, landet bei \(\ln20\) und \(9{,}99\) — falsch.

Ansatz: Was stört die Potenz \(e^{0{,}3x}\) zuerst — die \(-2\) oder die \(5\)?

Weiter: \(\ln4:0{,}3\approx1{,}386:0{,}3\).

A7

Alles gleich ln 12?

AFB II

Begründen Sie mit den Rechengesetzen, welche Terme den Wert \(\ln12\) haben, und markieren Sie alle.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.

\(2\ln2+\ln3=\ln4+\ln3=\ln12\). \(2\ln6=\ln36\) und \(\ln10+\ln2=\ln20\). Ein Produkt zweier Logarithmen lässt sich mit keinem Gesetz vereinfachen: \(\ln3\cdot\ln4\approx1{,}52\), aber \(\ln12\approx2{,}48\).

Ansatz: Fassen Sie jeden Term zu einem einzigen \(\ln\) zusammen.

Weiter: Vorfaktor wird Exponent: \(r\cdot\ln u=\ln(u^{r})\).

A8

Fehlersuche: zu früh logarithmiert

AFB III

Jonas löst \(4\cdot e^{0{,}5x}+3=23\). Überprüfen Sie seine Lösung — zwei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.

Der sichere Weg: \(4e^{0{,}5x}=20\;|:4\Rightarrow e^{0{,}5x}=5\Rightarrow x=2\ln5\approx3{,}22\). Jonas hat das richtige Ergebnis nur deshalb, weil er in Zeile 4 neu angesetzt hat — die Zeilen 2 und 3 bleiben trotzdem falsch.

Ansatz: Wenden Sie in Zeile 2 das Produktgesetz korrekt an: \(\ln(u\cdot v)=\ldots\)

Weiter: Kontrollieren Sie Zeile 3 mit dem Quotientengesetz \(\ln u-\ln v=\ln\frac uv\).

A9

Beschreibung und Wachstumskonstante

AFB III Mix

Jeder Vorgang wird durch \(f(t)=a\cdot e^{kt}\) beschrieben (\(t\) in Jahren). Bestimmen Sie jeweils \(k\) und verbinden Sie.

Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Prozentangaben liefern die Basis \(b\), und \(k=\ln b\): \(\ln1{,}05\approx0{,}049\), \(\ln0{,}95\approx-0{,}051\) — 5 % Zu- und Abnahme ergeben also nicht denselben Betrag von \(k\). Bei Verdreifachung: \(e^{4k}=3\Rightarrow k=\frac{\ln3}{4}\).

Ansatz: Aus 5.1.1/5.1.2: \(b^{t}=e^{kt}\) mit \(k=\ln b\). Für Verdopplungen: \(e^{kT}=2\).

Weiter: „5 % Zunahme“ heißt \(b=1{,}05\), „5 % Abnahme“ heißt \(b=0{,}95\).

A10

Wann holt A den Vorsprung ein?

AFB III Trick

Zwei Bestände wachsen nach \(A(t)=100\cdot e^{0{,}3t}\) und \(B(t)=400\cdot e^{0{,}1t}\). Untersuchen Sie, zu welchem Zeitpunkt beide gleich groß sind (zwei Nachkommastellen).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Nicht sofort logarithmieren, sondern beide e-Potenzen auf eine Seite bringen: \(\frac{e^{0{,}3t}}{e^{0{,}1t}}=\frac{400}{100}\Rightarrow e^{0{,}2t}=4\Rightarrow t=\frac{\ln4}{0{,}2}\approx6{,}93\). Dann sind beide Bestände 800 groß.

Ansatz: Teilen Sie durch \(100\) und durch \(e^{0{,}1t}\).Warum? Potenzgesetz: \(\frac{e^{u}}{e^{v}}=e^{u-v}\).

Weiter: Übrig bleibt \(e^{0{,}2t}=4\).

Übungen: Der natürliche Logarithmus

Übungsaufgaben