Luftdruck in der Höhe
AFB I–IIDer Luftdruck nimmt mit der Höhe ab. Näherungsweise gilt \(p(h)=1013\cdot e^{-0{,}125h}\) (\(h\) in km über dem Meeresspiegel, \(p\) in hPa).
- Geben Sie den Luftdruck auf Meereshöhe an und erklären Sie kurz, woran man am Term erkennt, dass der Druck abnimmt.
- Berechnen Sie den Luftdruck auf der Zugspitze (2962 m) und die prozentuale Abnahme des Drucks pro Kilometer.
- Bestimmen Sie exakt und gerundet die Höhe, in der der Luftdruck nur noch halb so groß ist wie auf Meereshöhe.
- Ein Verkehrsflugzeug misst einen Außendruck von 250 hPa. Ermitteln Sie seine Flughöhe.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(p(0)=1013\) hPa. Der Exponent \(-0{,}125h\) hat ein negatives Vorzeichen (\(k=-0{,}125<0\)), also fällt \(p\) mit wachsender Höhe.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(p(2{,}962)=1013\cdot e^{-0{,}37025}\approx699{,}5\) hPa. Pro km wird der Druck mit \(e^{-0{,}125}\approx0{,}8825\) multipliziert: Abnahme um etwa \(11{,}75\,\%\) pro km.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(e^{-0{,}125h}=0{,}5\Rightarrow-0{,}125h=\ln0{,}5=-\ln2\Rightarrow h=\frac{\ln2}{0{,}125}=8\ln2\approx5{,}55\) km.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(e^{-0{,}125h}=\frac{250}{1013}\Rightarrow h=\frac{\ln\frac{1013}{250}}{0{,}125}\approx11{,}19\) km. Das Flugzeug fliegt in etwa 11,2 km Höhe.
Kaninchen auf einer Insel
AFB II–IIIAuf einer kleinen Nordseeinsel wurden Wildkaninchen ausgesetzt. Die Naturschutzbehörde zählt alle zwei Jahre:
| \(t\) in Jahren | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Anzahl \(N\) | 150 | 212 | 296 | 420 | 590 |
- Weisen Sie nach, dass die Daten näherungsweise exponentielles Wachstum zeigen.
- Stellen Sie mit einer Regression ein Modell der Form \(N(t)=a\cdot e^{kt}\) auf (\(a\) auf ganze Zahlen, \(k\) auf vier Nachkommastellen).
- Leiten Sie allgemein die Formel \(T_{2}=\frac{\ln2}{k}\) für die Verdopplungszeit her und berechnen Sie \(T_{2}\) für das Modell.
- Das Modell sagt für \(t=30\) mehr als 25 000 Kaninchen voraus. Beurteilen Sie diese Prognose.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\frac{212}{150}\approx1{,}41\), \(\frac{296}{212}\approx1{,}40\), \(\frac{420}{296}\approx1{,}42\), \(\frac{590}{420}\approx1{,}40\). In gleichen Zeitabständen wird der Bestand mit nahezu demselben Faktor multipliziert — das kennzeichnet exponentielles Wachstum.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
GTR: \(a\approx150{,}06\), \(b\approx0{,}1711\). CAS: \(y\approx150{,}06\cdot1{,}1866^{x}\), \(k=\ln1{,}1866\approx0{,}1711\). Modell: \(N(t)=150\cdot e^{0{,}1711t}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(a\cdot e^{k(t+T)}=2a\cdot e^{kt}\;|:(a\cdot e^{kt})\Rightarrow e^{kT}=2\Rightarrow kT=\ln2\Rightarrow T_{2}=\frac{\ln2}{k}\). Unabhängig von \(t\) und \(a\). Hier: \(T_{2}=\frac{\ln2}{0{,}1711}\approx4{,}05\) Jahre.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(N(30)\approx150\cdot e^{5{,}133}\approx25\,400\). Das Modell beruht auf nur 8 Jahren Daten und nimmt unbegrenzte Ressourcen an. Auf einer kleinen Insel sind Fläche und Nahrung begrenzt; Fressfeinde, Krankheiten oder Bejagung bremsen das Wachstum. Realistischer ist ein begrenztes Wachstum (5.3). Für kurze Zeiträume ist die Prognose brauchbar, für 30 Jahre nicht. Vollständig ist die Antwort mit Rechnung, mindestens zwei Sachargumenten und einem begründeten Urteil.