Zehn Übungen zur Eulerschen Zahl und zur Funktion, die ihre eigene Ableitung ist.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Wie verhält sich f′ zu f?
AFB I
Ordnen Sie jeder Funktion zu, in welcher Beziehung ihre Ableitung \(f'\) zur Funktion \(f\) steht.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f′ = f
2f′ = k · f mit k ≠ 1
3f′ = 0
Die Faktorregel lässt \(f'=f\) auch bei \(5e^{x}\) und \(-e^{x}\) bestehen: \((5e^{x})'=5e^{x}\). Jede andere Basis erzeugt einen Faktor \(k\neq1\) — bei \(0{,}5^{x}\) sogar negativ (\(k\approx-0{,}693\)). \(e^{3}\approx20{,}09\) und \(\pi^{2}\) sind Zahlen, ihr Graph ist eine waagerechte Gerade.
Ansatz: Steht \(x\) im Exponenten? Wenn nicht, ist der Term eine Konstante.Warum? Die Ableitung einer Konstanten ist \(0\).
Weiter: Ein konstanter Vorfaktor bleibt beim Ableiten stehen — er ändert nichts daran, ob \(f'=f\) gilt.
A2
Stimmt's? — Fünferserie zur Zahl e
AFB I
Nennen Sie zu jeder Aussage über die Eulersche Zahl und die natürliche Exponentialfunktion, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Merken Sie sich die Doppelrolle: \(e\) ist eine feste Zahl, \(e^{x}\) ist eine Funktion. Nur bei der Funktion gilt \((e^{x})'=e^{x}\).
Ansatz: Prüfen Sie bei jeder Aussage: Geht es um die Zahl \(e\) oder um die Funktion \(e^{x}\)?
Weiter: Bei der Tangente: Steigung \(=f'(1)=e^{1}\).
A3
Steigung ablesen ohne Ableitungsregel
AFB I
Für \(f(x)=e^{x}\) gilt \(f'(x)=f(x)\). Geben Sie die Steigung des Graphen an der Stelle \(x=1{,}5\) auf zwei Nachkommastellen an.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(1{,}5)=e^{1{,}5}\approx4{,}48\). Steigung und Funktionswert sind bei \(e^{x}\) an jeder Stelle gleich — der Punkt \((1{,}5\,|\,4{,}48)\) hat also eine Tangente mit Steigung \(4{,}48\).
Ansatz: Wegen \(f'=f\) brauchen Sie nur den Funktionswert.
Weiter: Am GTR: SHIFTln liefert \(e^{\square}\); dann \(1{,}5\) eingeben.
A4
Die Basis e eingrenzen
AFB II
Für \(f(x)=b^{x}\) ist \(k\approx\frac{b^{0{,}001}-1}{0{,}001}\) die Steigung im Punkt \((0\,|\,1)\). Berechnen Sie \(k\) auf drei Nachkommastellen.
Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Basis \(b\)
1,5
2,5
2,7
2,8
\(k\)
Bei \(b=2{,}7\) ist \(k\) noch knapp unter 1, bei \(b=2{,}8\) schon darüber — also liegt \(e\) zwischen 2,7 und 2,8. Dass \(k\) genau \(\ln b\) ist, sehen Sie in 5.1.3.
Ansatz: Für jede Basis \(b^{0{,}001}\) berechnen, \(1\) abziehen, durch \(0{,}001\) teilen.
Weiter: Beispiel \(b=2{,}5\): \(2{,}5^{0{,}001}\approx1{,}000917\), also \(k\approx0{,}917\).
A5
Rechenkette: Tangente in (1 | e)
AFB II
Stellen Sie Schritt für Schritt die Tangente an den Graphen von \(f(x)=e^{x}\) an der Stelle \(x=1\) auf (Werte auf zwei Nachkommastellen).
Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Funktionswert \(f(1)\)
Steigung \(m=f'(1)\)
y-Achsenabschnitt \(n\) der Tangente \(y=mx+n\)
Wert der Tangente an der Stelle \(x=2\)
\(n=f(1)-f'(1)\cdot1=e-e=0\): Die Tangente \(y=e\cdot x\) geht genau durch den Ursprung. Bei \(x=2\) liefert sie \(2e\approx5{,}44\), der Graph dagegen \(e^{2}\approx7{,}39\) — die Tangente liegt unterhalb, weil der Graph linksgekrümmt ist.
Ansatz: Punkt-Steigungs-Form: \(n=f(1)-m\cdot1\).
Weiter: Funktionswert und Steigung sind bei \(e^{x}\) gleich — was folgt daraus für \(n\)?
A6
Richtig abgeleitet?
AFB II
Untersuchen Sie jede Ableitung auf Korrektheit und markieren Sie alle richtigen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
\(e\cdot x\) ist eine Gerade mit Steigung \(e\). Die Potenzregel \((x^{n})'=n\,x^{n-1}\) gilt nur, wenn \(x\) in der Basis steht — nicht bei \(e^{x}\) und nicht bei der Konstanten \(e^{3}\). \(2^{x}\) hat die Ableitung \(\approx0{,}693\cdot2^{x}\).
Ansatz: Wo steht das \(x\) — in der Basis, im Exponenten oder gar nicht?
Weiter: Faktor- und Summenregel gelten auch mit \(e^{x}\) wie gewohnt.
A7
Wer steigt bei x = 1 am stärksten?
AFB IIMix
Es gilt \(f'(x)=k\cdot f(x)\) mit \(k\approx0{,}405\) für Basis 1,5, \(k\approx0{,}693\) für Basis 2 und \(k\approx1{,}099\) für Basis 3. Vergleichen Sie die Steigungen \(f'(1)\) und ordnen Sie von der kleinsten zur größten.
Ziehen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(f(x)=0{,}5\cdot e^{x}\)
2\(f(x)=2^{x}\)
3\(f(x)=4\cdot1{,}5^{x}\)
4\(f(x)=e^{x}\)
5\(f(x)=3^{x}\)
Werte: \(0{,}5e\approx1{,}36\); \(0{,}693\cdot2\approx1{,}39\); \(0{,}405\cdot6\approx2{,}43\); \(e\approx2{,}72\); \(1{,}099\cdot3\approx3{,}30\). Die ersten beiden liegen dicht beieinander — Schätzen reicht hier nicht, man muss \(k\cdot f(1)\) wirklich ausrechnen.
Ansatz: Aus 5.1.1: \(f'(1)=k\cdot f(1)\). Für \(e^{x}\) ist \(k=1\).
Weiter: Erst \(f(1)\) bestimmen, z. B. \(4\cdot1{,}5=6\), dann mit \(k\) multiplizieren.
A8
Fehlersuche: Konstanten mit e
AFB III
Lea leitet \(f(x)=2e^{x}+e^{2}\cdot x+e^{3}\) ab. Überprüfen Sie ihre Lösung — zwei Zeilen sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Lea hat in Zeile 5 mit der richtigen Ableitung weitergerechnet: \(f'(0)=2e^{0}+e^{2}=2+e^{2}\approx9{,}39\). Der Fehler steckt allein in der Behandlung der Konstanten \(e^{3}\).
Ansatz: Welche Summanden enthalten gar kein \(x\)?
Weiter: Passt Zeile 5 zu Zeile 4? Rechnen Sie \(f'(0)\) mit beiden Versionen.
A9
Funktion und Ableitung verbinden
AFB III
Ermitteln Sie zu jeder Funktion die Ableitung. Tipp: Potenzgesetze wie \(e^{x+2}=e^{2}\cdot e^{x}\) helfen.
Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
\(e^{x+2}=e^{2}\cdot e^{x}\) ist \(e^{x}\) mal eine Konstante, also gilt auch hier \(f'=f\). Ebenso \(\frac{e^{x}}{e}=e^{x-1}\). Bei \(e^{x}+3\) fällt die \(3\) weg — die Ableitung ist nicht mehr gleich der Funktion.
Ansatz: Schreiben Sie Terme wie \(e^{x+2}\) als Produkt aus Konstante und \(e^{x}\).
Die Tangente an den Graphen von \(f(x)=e^{x}\) im Punkt \(P(a\,|\,e^{a})\) schneidet die x-Achse bei \(x=4\). Bestimmen Sie \(a\).
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Tangente: \(y=e^{a}(x-a)+e^{a}=e^{a}(x-a+1)\). Nullstelle: \(x-a+1=0\Rightarrow x=a-1\). Aus \(a-1=4\) folgt \(a=5\). Der Faktor \(e^{a}\) kürzt sich heraus — jede Tangente an \(e^{x}\) trifft die x-Achse genau eine Einheit links vom Berührpunkt.
Ansatz: Stellen Sie die Tangente allgemein auf: Steigung und Funktionswert sind beide \(e^{a}\).
Weiter: Klammern Sie \(e^{a}\) aus — es ist nie \(0\), also muss die Klammer \(0\) werden.
