Tangente als Näherung
AFB I–IIGegeben ist die natürliche Exponentialfunktion \(f(x)=e^{x}\). In der Nähe von \(x=0\) wird \(e^{x}\) oft durch die Tangente in \(P(0\,|\,1)\) ersetzt.
- Geben Sie \(f(0)\) und \(f'(0)\) an und stellen Sie die Gleichung der Tangente \(t\) in \(P\) auf.
- Berechnen Sie die Abweichung zwischen \(f(x)\) und \(t(x)\) für \(x=0{,}2\) und für \(x=-0{,}5\).
- Weisen Sie mithilfe der zweiten Ableitung nach, dass der Graph von \(f\) nirgends unterhalb von \(t\) verläuft.
- Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle \(x=-1\) und ihren Schnittpunkt mit der y-Achse (exakt und gerundet).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(0)=e^{0}=1\), \(f'(0)=e^{0}=1\). Tangente: \(t(x)=x+1\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(0{,}2)=e^{0{,}2}\approx1{,}2214\), \(t(0{,}2)=1{,}2\): Abweichung \(\approx0{,}021\). \(f(-0{,}5)\approx0{,}6065\), \(t(-0{,}5)=0{,}5\): Abweichung \(\approx0{,}107\). Je weiter man sich von \(0\) entfernt, desto schlechter wird die Näherung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f''(x)=e^{x}>0\) für alle \(x\): Der Graph ist überall linksgekrümmt. Ein linksgekrümmter Graph liegt oberhalb jeder seiner Tangenten und berührt sie nur im Berührpunkt. Also \(e^{x}\ge x+1\) für alle \(x\), Gleichheit nur bei \(x=0\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(y=e^{-1}(x+1)+e^{-1}=\frac1e\,x+\frac2e\). Schnittpunkt mit der y-Achse: \(\left(0\,\middle|\,\frac2e\right)\approx(0\,|\,0{,}74)\).
Zinseszins und die Zahl e
AFB II–IIIEin Guthaben von 1 € wird ein Jahr lang mit einem (fiktiven) Jahreszins von 100 % verzinst. Wird das Jahr in \(n\) gleiche Abschnitte geteilt und jeweils mit \(\frac{100\,\%}{n}\) verzinst, beträgt das Guthaben nach einem Jahr \(G(n)=\left(1+\frac1n\right)^{n}\) Euro.
Man kann zeigen: Für großes \(n\) nähert sich \(\left(1+\frac pn\right)^{n}\) dem Wert \(e^{p}\).
- Erstellen Sie eine Tabelle für \(G(n)\) bei jährlicher, halbjährlicher, monatlicher und täglicher Verzinsung (\(n=1;\,2;\,12;\,365\)).
- Ermitteln Sie das kleinste \(n\), für das \(G(n)\) um weniger als \(0{,}01\) von \(e\) abweicht.
- Ein Guthaben von 1000 € wird mit 5 % pro Jahr verzinst. Vergleichen Sie das Guthaben nach einem Jahr bei jährlicher, täglicher und stetiger Verzinsung (\(n\to\infty\)).
- Eine Bank wirbt: „Bei uns wird täglich verzinst — das bringt deutlich mehr als jährliche Zinsen, und wer stetig verzinst, wird reich.“ Nehmen Sie Stellung.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
| \(n\) | 1 | 2 | 12 | 365 |
|---|---|---|---|---|
| \(G(n)\) in € | 2 | 2,25 | ≈ 2,6130 | ≈ 2,7146 |
Die Werte steigen mit \(n\), wachsen aber immer langsamer und bleiben unter \(e\approx2{,}71828\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(e-G(134)\approx0{,}01007\), \(e-G(135)\approx0{,}0099998\) (knapp!). Das kleinste \(n\) ist \(135\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Jährlich: \(1050{,}00\) €. Täglich: \(\approx1051{,}27\) €. Stetig: \(1000\cdot e^{0{,}05}\approx1051{,}27\) €. Tägliche und stetige Verzinsung unterscheiden sich um weniger als einen Cent.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Tägliche Verzinsung bringt gegenüber jährlicher nur etwa \(1{,}27\) € pro 1000 € mehr (effektiv \(5{,}127\,\%\) statt \(5\,\%\)) — „deutlich mehr“ ist übertrieben. Auch stetige Verzinsung bleibt begrenzt: Der Faktor nähert sich \(e^{0{,}05}\) und kann nicht beliebig wachsen. Die Werbung ist irreführend. Vollständig ist die Antwort mit Zahlenvergleich, Hinweis auf den Grenzwert und begründetem Urteil.