Begrenztes Wachstum: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Welches Wachstum liegt vor?

AFB I Mix

Die Karten beschreiben Vorgänge aus dem Alltag. Ordnen Sie jeden Vorgang dem passenden Modell zu.

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1begrenzt, Annäherung von unten

2begrenzt, Annäherung von oben

3unbegrenzt exponentiell

Bei begrenztem Wachstum gibt es eine Schranke \(S\), der sich der Bestand nähert — von unten (Aufwärmen, Lernen, Sättigung) oder von oben (Abkühlen). Zinseszins und Hefezellen ohne Nährstoffgrenze wachsen dagegen proportional zum Bestand, also unbegrenzt exponentiell (5.1.1).

Ansatz: Fragen Sie: Gibt es einen Wert, den der Bestand nie überschreitet oder unterschreitet?Warum? Genau dann ist das Wachstum begrenzt.

Weiter: Startet der Bestand über der Schranke, nähert er sich von oben — das ist begrenzte Abnahme.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Ein Bestand wird durch f(t) = 30 − 25 · e^−0,2t beschrieben. Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die Änderungsrate hängt vom Abstand \(S-f(t)\) ab, nicht von \(S\) allein. Am Anfang ist der Abstand \(25\), also \(f'(0)=0{,}2\cdot25=5\).

Ansatz: Vergleichen Sie mit \(f(t)=S-c\cdot e^{-kt}\) und \(f'(t)=k\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\).

Weiter: Für die letzte Aussage: Abstand zu Beginn \(=30-f(0)\).

A3

Kartoffel im Backofen

AFB I

Eine Kartoffel wird in einen 200 °C heißen Ofen gelegt. Ihre Kerntemperatur wird durch \(f(t)=200-180\cdot e^{-0{,}05t}\) beschrieben (\(t\) in min, \(f\) in °C). Berechnen Sie die Temperatur nach 20 Minuten auf eine Nachkommastelle.

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(f(20)=200-180\cdot e^{-1}\approx200-66{,}2=133{,}8\) °C. Nach 20 Minuten ist gut ein Drittel des Anfangsabstands von 180 °C übrig — \(e^{-1}\approx0{,}37\).

Ansatz: \(t=20\) einsetzen: Exponent \(-0{,}05\cdot20=-1\).

Weiter: \(e^{-1}\approx0{,}3679\), dann \(180\cdot0{,}3679\) von 200 abziehen.

A4

Parameter ablesen

AFB II

Geben Sie für jede Funktion die Schranke \(S\), den Anfangswert und die Anfangsgeschwindigkeit \(f'(0)\) an.

Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Funktion	\(S\)	\(f(0)\)	\(f'(0)\)
\(f(t)=50-40\,e^{-0{,}1t}\)
\(g(t)=8+12\,e^{-0{,}5t}\)
\(h(t)=100\,\bigl(1-e^{-0{,}02t}\bigr)\)

\(f'(0)=k\cdot\bigl(S-f(0)\bigr)\): \(0{,}1\cdot40=4\), \(0{,}5\cdot(8-20)=-6\), \(0{,}02\cdot100=2\). Bei \(g\) steht ein Plus vor dem e-Term: Der Bestand startet über der Schranke und nimmt ab — die Rate ist negativ. \(h\) muss man erst ausmultiplizieren: \(100-100\,e^{-0{,}02t}\).

Ansatz: \(S\) ist die Zahl ohne e-Faktor, \(f(0)\) erhalten Sie mit \(e^{0}=1\).

Weiter: \(f'(0)=k\cdot\bigl(S-f(0)\bigr)\) — bei Annäherung von oben wird die Klammer negativ.

A5

Rechenkette: Getränkekiste im Kühlraum

AFB II Mix

Eine Getränkekiste mit 26 °C kommt in einen Kühlraum mit 6 °C. Es gilt \(f(t)=6+20\cdot e^{-0{,}02t}\) (\(t\) in min, \(f\) in °C). Ermitteln Sie die Größen nacheinander.

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Abstand zur Schranke zu Beginn °C
Temperatur nach 60 Minuten (zwei Nachkommastellen) °C
Zeitpunkt, an dem die Kiste 10 °C hat (zwei Nachkommastellen) min
Änderungsrate \(f'(t)\) in diesem Moment °C pro min

\(f(60)=6+20\,e^{-1{,}2}\approx12{,}02\). Für 10 °C: \(20\,e^{-0{,}02t}=4\Leftrightarrow e^{-0{,}02t}=0{,}2\Leftrightarrow t=\frac{\ln5}{0{,}02}\approx80{,}47\). Die Rate braucht keinen Zeitpunkt: \(f'=0{,}02\cdot(6-10)=-0{,}08\) °C pro Minute.

Ansatz: Abstand \(=f(0)-S\); für den Zeitpunkt \(f(t)=10\) setzen und mit \(\ln\) lösen (5.2.x).

Weiter: Letzter Schritt: \(f'(t)=k\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) mit \(k=0{,}02\), \(S=6\), \(f(t)=10\).

A6

Wer nähert sich der 40?

AFB II

Entscheiden Sie, welche Funktionen sich für \(t\to\infty\) dem Wert 40 nähern, und markieren Sie alle.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.

Entscheidend: Der e-Term muss gegen \(0\) gehen (negativer Exponent) und die Konstante muss \(40\) sein. Bei \(40-30\,e^{0{,}2t}\) fehlt das Minus im Exponenten — der Graph fällt ins Unendliche. \(40\,e^{-0{,}2t}\to0\) und \(30+40\,e^{-t}\to30\). Auch eine Annäherung von oben (\(40+10\,e^{-0{,}5t}\)) zählt.

Ansatz: Was bleibt übrig, wenn der e-Term verschwindet?

Weiter: Nur \(e^{-kt}\) mit \(k>0\) verschwindet für \(t\to\infty\).

A7

Parameter deuten

AFB II

Deuten Sie die Parameter: Verbinden Sie jede Funktion mit der passenden Beschreibung.

Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Die Konstante ist die Schranke \(S\), \(S\) minus Vorfaktor ergibt den Anfangswert, und \(k\) bestimmt das Tempo. a und b unterscheiden sich nur in \(k\): Bei \(k=0{,}03\) dauert jede Halbierung des Abstands zehnmal so lange.

Ansatz: Lesen Sie zuerst \(S\) ab, dann \(f(0)=S\mp c\).

Weiter: Zwei Funktionen haben gleiche Start- und Schrankenwerte — dann entscheidet k.

A8

Fehlersuche: Aquarium

AFB III

Ein Heizstab erwärmt Aquariumwasser von 16 °C in Richtung 26 °C, \(k=0{,}25\) pro Stunde. Jonas berechnet, wann 24 °C erreicht sind. Überprüfen Sie seine Lösung — zwei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.

\(t=\frac{\ln5}{0{,}25}\approx6{,}44\) h. Eine Plausibilitätsprüfung hätte den Fehler in Zeile 4 verraten: Nach 0,4 h ist der Abstand erst um etwa \(10\,\%\) geschrumpft, nicht um \(80\,\%\).

Ansatz: Prüfen Sie jede Umformung einzeln — besonders das Auflösen nach t.

Weiter: Was müsste für 26 °C gelten? Setzen Sie \(f(t)=26\) an.

A9

Funktion aus drei Angaben

AFB III

Beim Tippen-Lernen schafft Ella zu Beginn 15 Wörter pro Minute, nach 10 Wochen 45 Wörter pro Minute; mehr als 65 Wörter pro Minute sind nicht realistisch. Stellen Sie ein Modell \(f(t)=S-c\cdot e^{-kt}\) auf, indem Sie die Zwischenergebnisse auswählen.

Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.

Schranke \(S\) =

Vorfaktor \(c\) =

Bedingung \(f(10)=45\) führt auf

\(k\approx\)

60 Wörter pro Minute nach etwa

\(c=S-f(0)=50\). \(65-50\,e^{-10k}=45\Leftrightarrow e^{-10k}=0{,}4\Leftrightarrow k=\frac{\ln2{,}5}{10}\approx0{,}092\). Für 60: \(50\,e^{-kt}=5\Leftrightarrow t=\frac{\ln10}{k}\approx25{,}1\) Wochen. Der Abstand zur Schranke schrumpft alle 10 Wochen auf \(40\,\%\).

Ansatz: \(S\) ist die Obergrenze, \(c\) der Abstand zu Beginn.

Weiter: \(e^{-10k}=0{,}4\Rightarrow-10k=\ln0{,}4\).

A10

Schranke ohne Funktionsterm

AFB III Trick

Ein Sensor misst die Temperatur einer Probe beim Erwärmen. Bei 30 °C steigt sie um 1,2 °C pro Minute, bei 40 °C nur noch um 0,6 °C pro Minute. Es liegt begrenztes Wachstum vor. Bestimmen Sie die Schranke \(S\).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(f'=k\,(S-f)\): \(1{,}2=k\,(S-30)\) und \(0{,}6=k\,(S-40)\). Halbe Rate heißt halber Abstand: \(S-30=2\,(S-40)\Rightarrow S=50\) °C, dann \(k=0{,}06\). Weder Startwert noch Zeitpunkt werden gebraucht.

Ansatz: Die Rate ist proportional zum Abstand \(S-f\). Was bedeutet es, dass sie sich halbiert?

Weiter: Teilen Sie die beiden Gleichungen durcheinander — \(k\) kürzt sich.

Übungen: Begrenztes Wachstum

Übungsaufgaben