Planschbecken
AFB I–IIEin Planschbecken wird morgens mit kaltem Leitungswasser gefüllt und steht dann in der Sonne. Die Wassertemperatur wird durch \(T(t)=30-16\cdot e^{-0{,}2t}\) beschrieben (\(t\) in Stunden, \(T\) in °C).
- Geben Sie die Anfangstemperatur und die Schranke an und deuten Sie die Schranke im Sachzusammenhang.
- Berechnen Sie die Temperatur nach 3 Stunden und den Zeitpunkt, zu dem das Wasser 25 °C warm ist.
- Weisen Sie nach, dass \(T'(t)=0{,}2\cdot\bigl(30-T(t)\bigr)\) gilt, und geben Sie die Erwärmungsrate zu Beginn an.
- Begründen Sie, dass das Wasser nie 30 °C erreicht, und untersuchen Sie, ab wann es sich um weniger als 0,5 °C pro Stunde erwärmt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(T(0)=14\) °C, Schranke \(S=30\) °C. Deutung: Die Wassertemperatur nähert sich langfristig der Temperatur, die das Wasser bei dauernder Sonneneinstrahlung annimmt (Gleichgewicht von Aufheizen und Wärmeabgabe).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(T(3)=30-16\,e^{-0{,}6}\approx21{,}2\) °C.
\(30-16\,e^{-0{,}2t}=25\Leftrightarrow e^{-0{,}2t}=\frac{5}{16}\Leftrightarrow t=\frac{\ln3{,}2}{0{,}2}\approx5{,}8\) h.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(T'(t)=-16\cdot(-0{,}2)\,e^{-0{,}2t}=0{,}2\cdot16\,e^{-0{,}2t}=0{,}2\cdot\bigl(30-T(t)\bigr)\), da \(30-T(t)=16\,e^{-0{,}2t}\).
\(T'(0)=0{,}2\cdot16=3{,}2\) °C pro Stunde.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(T(t)=30\Leftrightarrow16\,e^{-0{,}2t}=0\) — unlösbar, da \(e^{-0{,}2t}>0\). Also \(T(t)<30\) für alle \(t\); \(y=30\) ist waagerechte Asymptote.
\(0{,}2\,(30-T)<0{,}5\Leftrightarrow30-T<2{,}5\Leftrightarrow T>27{,}5\) °C. \(16\,e^{-0{,}2t}<2{,}5\Leftrightarrow t>\frac{\ln6{,}4}{0{,}2}\approx9{,}3\) h.
Werkstück in der Schmiede
AFB II–IIIEin geschmiedetes Werkstück kühlt in einer Werkhalle mit konstant 20 °C ab. Gemessen wurde:
| \(t\) in min | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(W(t)\) in °C | 800 | 495 | 305 | 195 | 126 |
- Erläutern, warum man für eine Regression nicht die Temperaturen \(W\), sondern die Differenzen \(d=W-20\) verwendet, und berechnen Sie diese Differenzen.
- Ermitteln Sie mit einer exponentiellen Regression für \(d(t)\) ein Modell der Form \(W(t)=20+a\cdot e^{-kt}\) (Werte sinnvoll runden).
- Das Werkstück darf ab 50 °C ohne Handschuhe angefasst werden. Bestimmen Sie mit Ihrem Modell, wann das der Fall ist.
- Ein Azubi sagt: „In den ersten 5 Minuten sinkt die Temperatur um über 300 °C, nach einer Stunde hat das Teil also sicher Raumtemperatur.“ Nehmen Sie Stellung und nutzen Sie dabei die Änderungsrate.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nach dem Abkühlungsgesetz ist die Rate proportional zum Abstand zur Umgebungstemperatur: \(W'=-k\,(W-20)\). Exponentiell fällt also \(d=W-20\) (gegen \(0\)), nicht \(W\) selbst — \(W\) nähert sich \(20\), nicht \(0\). Eine Regression direkt auf \(W\) würde die falsche Asymptote \(y=0\) unterstellen.
\(d\): 780; 475; 285; 175; 106.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
GTR: \(a\approx779{,}5\), \(b\approx-0{,}0998\), \(r\approx-0{,}99998\). CAS: \(y\approx779{,}5\cdot0{,}905^{x}\), \(k=-\ln0{,}905\approx0{,}0998\).
Gerundet: \(W(t)=20+780\cdot e^{-0{,}1t}\). Die Modellwerte (800; 493; 307; 194; 126) passen sehr gut zu den Messwerten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(780\,e^{-0{,}1t}=30\Leftrightarrow e^{-0{,}1t}=\frac{1}{26}\Leftrightarrow t=\frac{\ln26}{0{,}1}\approx32{,}6\) min. Nach gut einer halben Stunde darf das Werkstück angefasst werden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(W'(0)=-0{,}1\cdot780=-78\) °C pro Minute, \(W'(60)=-0{,}1\cdot780\,e^{-6}\approx-0{,}19\) °C pro Minute: Die Abkühlung wird immer langsamer, weil der Abstand zur Hallentemperatur schrumpft. Aus dem schnellen Anfang lässt sich also nicht linear weiterrechnen.
Im Modell gilt \(W(60)\approx21{,}9\) °C: Das Teil ist nach einer Stunde fast, aber nie genau auf 20 °C — \(y=20\) ist Asymptote. Für die Praxis ist die Aussage im Ergebnis vertretbar, die Begründung ist falsch. Vollständig ist die Antwort, wenn Rechnung, Deutung der Rate und Urteil zusammenkommen.