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Zusammenfassung

Alles Wichtige zu bedingten Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen auf einen Blick — die Regeln, die in der Klausur zählen.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Tafel und Baum zeigen dieselben Daten — die bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet nur eine Teilgruppe.

Vierfeldertafel

Innen die Schnitte, außen die Summen, in der Ecke 1.

P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(A)

Baumdiagramm

1. Stufe = Rand der Tafel, Pfadende = inneres Feld.

P(A ∩ B) = P(A) · PA(B)

Bedingung erkennen

„unter den …“, „von den …“, „falls …“ nennen die Bezugsgruppe.

PA(B): Bedingung A, gesucht B

Bedingung umkehren

Pfade zu B addieren, dann den passenden Pfad durch P(B) teilen.

PB(A) = P(A) · PA(B) : P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
PA(B) = P(A ∩ B) : P(A)
Für P(A) > 0. Der Nenner ist die Bedingung, nicht die Gesamtzahl.

Index nicht vertauschen

PS(F) (Trefferquote) und PF(S) (Anteil echter Treffer) sind verschiedene Zahlen — oft sehr verschieden.

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Stochastische Unabhängigkeit

Unabhängig heißt: Das Ergebnis der einen Stufe verändert die Chancen der anderen nicht.

Mit Zurücklegen

Die Urne bleibt gleich — beide Stufen sind unabhängig.

3 rot, 2 blau: P(rr) = 3/5 · 3/5 = 0,36

Ohne Zurücklegen

Zähler und Nenner der 2. Stufe sinken — abhängig.

P(rr) = 3/5 · 2/4 = 0,30

Große Urne

Ohne Zurücklegen ≈ mit Zurücklegen.

30 rot, 20 blau: 0,355 statt 0,36

Test im Baum

Die Äste zu B sind auf beiden Seiten gleich.

PA(B) = PA(B) = P(B)
Unabhängigkeit
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
In der Tafel: ein inneres Feld mit dem Produkt seiner Randwerte vergleichen.

Unabhängig ≠ unvereinbar

Unvereinbare Ereignisse (P(A ∩ B) = 0) mit positiven Wahrscheinlichkeiten sind abhängig.

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Zufallsgrößen und Kenngrößen

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu; Erwartungswert und Standardabweichung beschreiben ihre Verteilung.

Verteilung

Jeder Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit, Summe 1.

P(X = x₁) + … + P(X = xₙ) = 1

Erwartungswert

Gewichtetes Mittel, Schwerpunkt des Histogramms.

μ = E(X) = Σ xᵢ · P(X = xᵢ)

Standardabweichung

Typischer Abstand vom Erwartungswert.

σ = √( Σ (xᵢ − μ)² · P(X = xᵢ) )

Faires Spiel

Reingewinn G = Auszahlung − Einsatz.

fair ⇔ E(G) = 0
Daten und Modell
x̄ ≈ μ und s̄ ≈ σ für große n
Relative Häufigkeiten nähern sich den Wahrscheinlichkeiten. GTR: x̄ und σx mit der Wahrscheinlichkeitsliste als Freq.

Deuten mit „im Mittel“

E(G) = −0,25 € heißt: auf lange Sicht pro Spiel durchschnittlich 25 Cent Verlust — nicht bei jedem Spiel.

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Worauf es in der Klausur ankommt

Diese drei Stellen kosten in der Klausur am häufigsten Punkte.

Bezugsgruppe benennen

Vor jeder Rechnung klären: Bezieht sich der Anteil auf alle oder auf eine Teilgruppe? Im Antwortsatz die Gruppe nennen.

Ansatz aufschreiben

Baum oder Tafel skizzieren, verwendete Formel hinschreiben, dann erst rechnen — der Ansatz bringt Punkte, auch wenn eine Zahl nicht stimmt.

Ergebnis deuten

Wahrscheinlichkeiten in Prozent und im Sachkontext formulieren, Erwartungswerte mit Einheit und „im Mittel“.