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Zufallsgröße und Verteilung

Zehn Übungen: Werte festlegen, Ergebnisse bündeln, Verteilungen ablesen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Rechnen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Augensumme zweier Würfel
AFB I

Zwei Würfel werden geworfen, X ist die Augensumme. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
X = 7 entsteht aus sechs Ergebnissen (1|6, 2|5, …, 6|1), X = 2 nur aus einem. Die Werte sind also nicht gleich wahrscheinlich, obwohl alle 36 Ergebnisse es sind.
A2
Stimmt's? — Zufallsgrößen
AFB I

Fünf Behauptungen über Zufallsgrößen und ihre Verteilungen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

„≤“ schließt die Grenze ein, „<“ nicht — bei ganzzahligem X ist P(X < 3) = P(X ≤ 2).
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze ein — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu. Die Tabelle aller Werte xi mit ihren Wahrscheinlichkeiten P(X = xi) heißt . Alle Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen . Grafisch stellt man die Verteilung als dar; die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) addiert alle Säulen bis einschließlich k.

Kumuliert heißt „aufsummiert“ — P(X ≤ k) wächst mit k und erreicht beim größten Wert 1.
A4
Das Maximum beim Tetraeder
AFB II

Ein Tetraeder mit den Zahlen 1 bis 4 wird zweimal geworfen. X ist die größere der beiden Zahlen (bei Gleichstand diese Zahl). Ordne jedes Ergebnis dem Wert von X zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1X = 1
2X = 2
3X = 3
4X = 4
Zu X = k gehören 2k − 1 der 16 Ergebnisse: 1, 3, 5 und 7.
A5
Wie wahrscheinlich ist X = 4?
AFB II

Tetraeder wie in A4: Berechne P(X = 4).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Brüche wie 3/8 sind erlaubt, Enter prüft direkt.
Zu X = 4 gehören 7 von 16 gleich wahrscheinlichen Ergebnissen: P(X = 4) = 7/16 = 0,4375. Kürzer über das Gegenereignis: 1 − (3/4)² = 7/16.
A6
Vom Experiment zur Verteilung
AFB I

Bringe die Schritte in eine sinnvolle Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Zufallsgröße X im Sachkontext festlegen
2Mögliche Werte von X bestimmen
3Zu jedem Wert die zugehörigen Ergebnisse sammeln
4Wahrscheinlichkeiten P(X = xi) berechnen
5Summenkontrolle: Alle Wahrscheinlichkeiten ergeben 1
6Verteilung als Tabelle oder Histogramm darstellen
Die Summenkontrolle vor dem Zeichnen spart Arbeit: Fehlt ein Ergebnis, fällt es hier auf.
A7
Zwei rote, zwei weiße
AFB II

Aus einer Urne mit 2 roten und 2 weißen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. X ist die Anzahl roter Kugeln.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. P(X = 0)
  2. P(X = 1)
  3. P(X = 2)
  4. P(X ≥ 1)
P(X = 0) = 2/4 · 1/3 = 1/6, P(X = 1) = 2 · 2/4 · 2/3 = 2/3, P(X = 2) = 1/6. P(X ≥ 1) = 1 − 1/6 = 5/6.
A8
Aus der Tabelle ablesen
AFB II

X hat die Verteilung P(X = 0) = 0,1; P(X = 1) = 0,3; P(X = 2) = 0,4; P(X = 3) = 0,2. Ordne zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Achte auf die Grenzen: „X < 3“ endet bei 2, „X > 0“ beginnt bei 1.
A9
Fehlersuche: Augendifferenz
AFB III

Zwei Würfel werden geworfen, X ist der Betrag der Differenz der Augenzahlen. Drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Richtige Verteilung: 6, 10, 8, 6, 4, 2 (jeweils /36) für X = 0 bis 5.
A10
Wie wahrscheinlich?
AFB III

Zwei Würfel, X = Augensumme. Ordne jedes Ereignis einer Stufe zu.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,2, 2 = 0,2 bis 0,4, 3 = 0,4 bis 0,6, 4 = 0,6 bis 0,8, 5 = über 0,8. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter 0,25 = über 0,8
X = 7 oder X = 8
X ≤ 4
X ≥ 6
X ≤ 9
X ≥ 7
X ≤ 4: 6/36; X = 7 oder 8: 11/36; X ≥ 7: 21/36; X ≥ 6: 26/36; X ≤ 9: 30/36. Bei „≤ 9“ hilft das Gegenereignis X ≥ 10 (6/36).