Zufallsgröße und Verteilung: Abituraufgaben – Mathe Grundkurs

Dein Fortschritt:

0 / 0 Aufgaben

Kartensumme

AFB I–II

Auf fünf Karten stehen die Zahlen 1, 1, 2, 3 und 5. Zwei Karten werden gleichzeitig zufällig gezogen. Die Zufallsgröße X gibt die Summe der beiden Zahlen an.

Geben Sie alle möglichen Werte von X an und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
Berechnen Sie \(P(X\ge5)\) und die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe gerade ist.
Eine der beiden Karten mit der Zahl 1 wird durch eine Karte mit der Zahl 4 ersetzt. Untersuchen Sie, wie sich \(P(X=5)\) dadurch ändert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)

Unterscheiden Sie die beiden Einsen, dann gibt es 10 gleich wahrscheinliche Kartenpaare.

Hinweis zu Aufgabe b)

Werte der Verteilung addieren.

Hinweis zu Aufgabe c)

Welche Paare ergeben mit den neuen Karten 1, 2, 3, 4, 5 die Summe 5?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Paare: \(1{+}1=2\); \(1{+}2=3\) (2×); \(1{+}3=4\) (2×); \(1{+}5=6\) (2×); \(2{+}3=5\); \(2{+}5=7\); \(3{+}5=8\). Verteilung: \(P(X=2)=0{,}1\), \(P(X=3)=0{,}2\), \(P(X=4)=0{,}2\), \(P(X=5)=0{,}1\), \(P(X=6)=0{,}2\), \(P(X=7)=0{,}1\), \(P(X=8)=0{,}1\); Summe 1.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X\ge5)=0{,}1+0{,}2+0{,}1+0{,}1=0{,}5\). Gerade Summe: \(P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)+P(X=8)=0{,}6\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit 1, 2, 3, 4, 5 ergeben \(1{+}4\) und \(2{+}3\) die Summe 5, also \(P(X=5)=\tfrac{2}{10}=0{,}2\). Die Wahrscheinlichkeit verdoppelt sich.

Parkhaus

AFB II–III

In einem Parkhaus wird die Parkdauer auf volle Stunden aufgerundet. Die Parkdauer D (in Stunden) eines zufällig ausgewählten Autos hat folgende Verteilung. Die Gebühr beträgt 2 € für die erste und 1,50 € für jede weitere angefangene Stunde.

Parkdauer \(d\) in h	1	2	3	4
\(P(D=d)\)	0,4	0,3	0,2	0,1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gebühr Y (in €) und beschreiben Sie, wie ein Histogramm von Y aussieht.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto mehr als 4 € zahlt.
Der Betreiber führt einen Tageshöchstsatz von 5 € ein. Bestimmen Sie die neue Verteilung und beurteilen Sie, für welchen Anteil der Kunden sich etwas ändert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)

Jeder Parkdauer entspricht genau eine Gebühr: \(Y=2+1{,}5\cdot(D-1)\).

Hinweis zu Aufgabe b)

Welche Parkdauern führen zu mehr als 4 €?

Hinweis zu Aufgabe c)

Nur Gebühren über 5 € werden gekappt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(Y\in\{2;\,3{,}5;\,5;\,6{,}5\}\) mit \(P=0{,}4;\,0{,}3;\,0{,}2;\,0{,}1\). Histogramm: vier Säulen, von links nach rechts gleichmäßig fallend; die höchste Säule gehört zu 2 €.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(Y>4)=P(D\ge3)=0{,}2+0{,}1=0{,}3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Neu: \(P(Y=2)=0{,}4\), \(P(Y=3{,}5)=0{,}3\), \(P(Y=5)=0{,}2+0{,}1=0{,}3\). Nur Kunden mit 4 Stunden Parkdauer zahlen weniger (5 € statt 6,50 €), das sind 10 % der Kunden; für 90 % ändert sich nichts.