MINT lernen

Mit oder ohne Zurücklegen

Zwei Abituraufgaben: Schrauben ziehen und entscheiden, wann eine Näherung genügt.

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Schraubenkontrolle

AFB I–II

In einer Schachtel liegen 12 Schrauben, davon sind 3 fehlerhaft. Ein Monteur entnimmt nacheinander zwei Schrauben, ohne sie zurückzulegen.

  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Schrauben fehlerhaft sind.
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Schraube fehlerhaft ist.
  3. Vergleichen Sie beide Ergebnisse mit den Werten, die sich beim Ziehen mit Zurücklegen ergäben.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nach einer fehlerhaften Schraube sind noch 2 fehlerhafte von 11 übrig.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zwei Pfade: fehlerhaft–intakt und intakt–fehlerhaft.
Hinweis zu Aufgabe c)
Mit Zurücklegen ist jede Stufe \(\tfrac{3}{12}=0{,}25\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P=\tfrac{3}{12}\cdot\tfrac{2}{11}=\tfrac{6}{132}\approx0{,}045\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P=\tfrac{3}{12}\cdot\tfrac{9}{11}+\tfrac{9}{12}\cdot\tfrac{3}{11}=\tfrac{54}{132}\approx0{,}409\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit Zurücklegen: \(0{,}25^2=0{,}0625\) bzw. \(2\cdot0{,}25\cdot0{,}75=0{,}375\). Ohne Zurücklegen sind zwei fehlerhafte Schrauben deutlich seltener, genau eine etwas häufiger — bei nur 12 Schrauben verändert der erste Zug die Schachtel spürbar.

2

Umfrage zum Schwimmbad

AFB II–III

In einer Stadt mit 20 000 Einwohnern befürworten 40 % den Bau eines neuen Schwimmbads. Für eine Blitzumfrage werden drei verschiedene Personen zufällig ausgewählt.

  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei den Bau befürworten, exakt (ohne Zurücklegen) und näherungsweise (mit Zurücklegen).
  2. Begründen Sie, warum man hier mit dem einfacheren Modell rechnen darf.
  3. Untersuchen Sie dieselbe Frage für eine Schulklasse mit 25 Personen, von denen 10 den Bau befürworten, und beurteilen Sie, ob die Näherung dort noch angemessen ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
8 000 Befürworter; nach jeder Befragung ein Befürworter und eine Person weniger.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie stark ändert sich der Anteil durch eine gezogene Person?
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie \(\tfrac{10}{25}\cdot\tfrac{9}{24}\cdot\tfrac{8}{23}\) mit \(0{,}4^3\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Exakt: \(\tfrac{8000}{20000}\cdot\tfrac{7999}{19999}\cdot\tfrac{7998}{19998}\approx0{,}06399\). Näherung: \(0{,}4^3=0{,}064\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Anteil der Befürworter ändert sich durch eine gezogene Person nur um etwa \(0{,}00003\); die Ergebnisse unterscheiden sich erst in der fünften Nachkommastelle. Bei großer Grundgesamtheit und kleiner Stichprobe darf man mit Zurücklegen rechnen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Klasse: \(\tfrac{10}{25}\cdot\tfrac{9}{24}\cdot\tfrac{8}{23}=\tfrac{720}{13800}\approx0{,}052\) gegenüber \(0{,}064\) — etwa 19 % weniger. Hier ist die Näherung nicht mehr angemessen, weil drei Personen gut 10 % der Klasse ausmachen.