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Vierfeldertafel und Baum

Zwei Abituraufgaben: Tafel aufstellen, Baum umdrehen und eine voreilige Folgerung prüfen.

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1

Wettkampf im Sportverein

AFB I–II

Ein Sportverein hat 250 Mitglieder. 40 % davon sind Jugendliche (\(J\)). Insgesamt nehmen 30 % aller Mitglieder an Wettkämpfen teil (\(W\)); darunter sind 60 Jugendliche.

  1. Erstellen Sie eine Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten.
  2. Zeichnen Sie das Baumdiagramm mit \(J\) in der ersten Stufe und beschriften Sie alle Äste.
  3. Ermitteln Sie den Anteil der Wettkämpfer unter den Erwachsenen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Erst die Anzahlen: 100 Jugendliche, 75 Wettkämpfer. Dann durch 250 teilen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die erste Stufe steht am Rand, die zweite Stufe ist „Feld : Rand“.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Bezugsgruppe sind die 150 Erwachsenen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Anzahlen: \(J\cap W=60\), \(J\cap\overline W=40\), \(\overline J\cap W=15\), \(\overline J\cap\overline W=135\). Relativ: 0,24; 0,16; 0,06; 0,54; Ränder \(P(J)=0{,}4\), \(P(W)=0{,}3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Erste Stufe: \(P(J)=0{,}4\), \(P(\overline J)=0{,}6\). Zweite Stufe: \(P_J(W)=\tfrac{0{,}24}{0{,}4}=0{,}6\), \(P_J(\overline W)=0{,}4\), \(P_{\overline J}(W)=\tfrac{0{,}06}{0{,}6}=0{,}1\), \(P_{\overline J}(\overline W)=0{,}9\). Pfadenden = Tafelfelder.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P_{\overline J}(W)=\tfrac{15}{150}=0{,}1\): Nur 10 % der Erwachsenen nehmen an Wettkämpfen teil, bei den Jugendlichen sind es 60 %.

2

Smartwatch und Joggen

AFB II–III

Eine Umfrage ergibt: 25 % der Befragten besitzen eine Smartwatch (\(S\)). Von den Smartwatch-Besitzern joggen 60 % regelmäßig (\(L\)), von den übrigen 30 %.

  1. Stellen Sie die zugehörige Vierfeldertafel auf.
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms mit \(L\) in der ersten Stufe.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Smartwatch-Besitzer joggen doppelt so häufig wie die anderen — also besitzen Jogger doppelt so häufig eine Smartwatch wie Nicht-Jogger.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Pfadregel für die vier Felder, Summen für die Ränder.
Hinweis zu Aufgabe b)
Neue erste Stufe: \(P(L)\) und \(P(\overline L)\); zweite Stufe: Feld durch Rand.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie \(P_L(S)\) mit \(P_{\overline L}(S)\) — nicht die Äste des ursprünglichen Baums.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(S\cap L)=0{,}15\), \(P(S\cap\overline L)=0{,}10\), \(P(\overline S\cap L)=0{,}225\), \(P(\overline S\cap\overline L)=0{,}525\); Ränder \(P(L)=0{,}375\), \(P(\overline L)=0{,}625\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Erste Stufe: \(P(L)=0{,}375\), \(P(\overline L)=0{,}625\). Zweite Stufe: \(P_L(S)=\tfrac{0{,}15}{0{,}375}=0{,}4\), \(P_L(\overline S)=0{,}6\), \(P_{\overline L}(S)=\tfrac{0{,}10}{0{,}625}=0{,}16\), \(P_{\overline L}(\overline S)=0{,}84\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der erste Teil stimmt: \(0{,}6=2\cdot0{,}3\). Der Schluss nicht: \(P_L(S)=0{,}4\) ist das 2,5-Fache von \(P_{\overline L}(S)=0{,}16\). Das Verhältnis der umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeiten hängt auch von \(P(S)\) ab; man darf es nicht einfach übertragen. Die Aussage ist daher im zweiten Teil falsch (der Faktor ist hier sogar größer als 2).