Varianz und Standardabweichung: Übungen – Mathe Grundkurs

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Rechnen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

Zwei Werte, eine Streuung

AFB I

X nimmt die Werte 2 und 8 mit jeweils Wahrscheinlichkeit 0,5 an. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

V(X) = (−3)² · 0,5 + 3² · 0,5 = 9. Ohne Quadrieren heben sich die Abweichungen immer zu 0 auf.

Stimmt's? — Varianz und σ

AFB I

Fünf Behauptungen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

σ misst die Breite der Verteilung, μ ihre Lage — beide sind voneinander unabhängig.

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze ein — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die V(X) ist der Erwartungswert der quadrierten vom Erwartungswert μ. Ihre Wurzel heißt σ; sie hat dieselbe wie X. Ein großes σ bedeutet, dass die Werte stark um μ .

Die Varianz hat die quadrierte Einheit (z. B. min²) — deshalb deutet man im Sachkontext σ.

Wie groß ist σ?

AFB II

Ordne jede Verteilung dem passenden Bereich zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1σ = 0

20 < σ < 1

3σ ≥ 1

Bei zwei gleich wahrscheinlichen Werten ist σ der halbe Abstand. X = 1, 2, 3: σ = √(2/3) ≈ 0,82. Und 0/10 mit 0,9/0,1: μ = 1, σ = 3.

Standardabweichung berechnen

AFB II

X nimmt die Werte 0, 2 und 4 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,25; 0,5 und 0,25 an. Berechne σ auf drei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Brüche wie 3/8 sind erlaubt, Enter prüft direkt.

μ = 2; V(X) = 4 · 0,25 + 0 · 0,5 + 4 · 0,25 = 2; σ = √2 ≈ 1,414.

Rechenweg zur Standardabweichung

AFB I

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Erwartungswert μ berechnen

2Abweichungen x_i − μ bilden

3Abweichungen quadrieren

4Quadrate mit P(X = x_i) gewichten

5Summe bilden: das ist V(X)

6Wurzel ziehen: σ = √V(X)

7σ im Sachkontext deuten

Wer vor dem Quadrieren summiert, erhält immer 0.

Rendite einer Geldanlage

AFB II

Die Jahresrendite X einer Anlage beträgt −10 %, 5 % oder 20 % mit den Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5 und 0,3.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

μ %
V(X) %²
σ %

μ = −2 + 2,5 + 6 = 6,5 %; V = 16,5² · 0,2 + 1,5² · 0,5 + 13,5² · 0,3 = 110,25; σ = 10,5 %. Die Rendite schwankt typischerweise um gut 10 Prozentpunkte — ein riskantes Produkt.

Verteilung und σ

AFB II

Ordne jeder Verteilung ihre Standardabweichung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Die Lage spielt keine Rolle: 10 oder 18 streut genauso wie −4 oder 4.

Fehlersuche: zwei Werte

AFB III

X nimmt die Werte 0 und 10 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,6 und 0,4 an. Drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 4 rechnet schon mit dem richtigen Wert 24 — dort ist nichts falsch.

A10

Was passiert mit σ?

AFB III

Es gilt σ = 2. Ordne jeder Änderung die neue Standardabweichung zu.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = σ = 0, 2 = σ = 1, 3 = σ = 2 (unverändert), 4 = σ = 4, 5 = σ = 6. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = σ = 05 = σ = 6

Zu jedem Wert wird 5 addiert.

Jeder Wert wird verdoppelt.

Jeder Wert wird verdreifacht.

Jeder Wert wird halbiert.

Jeder Wert wird durch μ ersetzt.

Jeder Wert wird mit −1 multipliziert.

Strecken um den Faktor k streckt σ um |k|; Verschieben und Spiegeln lassen σ gleich.