Zwei Pizzadienste
AFB I–IIDie Lieferzeiten (in Minuten) zweier Pizzadienste werden durch die Zufallsgrößen A und B modelliert.
| Lieferzeit in min | 15 | 20 | 30 | 40 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(A=x)\) | – | 0,2 | 0,6 | 0,2 | – |
| \(P(B=x)\) | 0,3 | – | 0,4 | – | 0,3 |
- Berechnen Sie die Erwartungswerte von A und B.
- Berechnen Sie die Standardabweichungen von A und B.
- Sie möchten eine Pizza bestellen, die spätestens nach 40 Minuten da sein soll. Entscheiden Sie sich begründet für einen der beiden Dienste.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(E(A)=20\cdot0{,}2+30\cdot0{,}6+40\cdot0{,}2=30\), \(E(B)=15\cdot0{,}3+30\cdot0{,}4+45\cdot0{,}3=30\) (je in Minuten).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(V(A)=100\cdot0{,}2+0+100\cdot0{,}2=40\), \(\sigma_A\approx6{,}3\,\text{min}\). \(V(B)=225\cdot0{,}3+0+225\cdot0{,}3=135\), \(\sigma_B\approx11{,}6\,\text{min}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Im Mittel liefern beide nach 30 Minuten, B streut aber fast doppelt so stark. \(P(A\le40)=1\), \(P(B\le40)=0{,}7\): Mit Dienst A kommt die Pizza sicher rechtzeitig, bei B in 30 % der Fälle zu spät. Also Dienst A.
Solaranlage
AFB II–IIIDer Tagesertrag X (in kWh) einer kleinen Solaranlage wird im Frühjahr so modelliert: 5 kWh mit Wahrscheinlichkeit 0,3 (trüb), 15 kWh mit 0,5 (wechselhaft), 25 kWh mit 0,2 (sonnig).
- Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Tagesertrag im Intervall \([\mu-\sigma;\,\mu+\sigma]\) liegt, und interpretieren Sie σ im Sachzusammenhang.
- Nach einer Reinigung der Module liefert die Anlage an jedem Tag 2 kWh mehr. Begründen Sie ohne neue Rechnung, wie sich Erwartungswert und Standardabweichung ändern, und vergleichen Sie mit einer Steigerung aller Erträge um 10 %.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\mu=1{,}5+7{,}5+5=14\,\text{kWh}\). \(V=81\cdot0{,}3+1\cdot0{,}5+121\cdot0{,}2=49\), \(\sigma=7\,\text{kWh}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Intervall \([7;\,21]\): Nur 15 kWh liegt darin, also \(P=0{,}5\). Die Tageserträge weichen typischerweise um etwa 7 kWh vom Mittel 14 kWh ab — die Anlage schwankt stark mit dem Wetter.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Plus 2 kWh verschiebt die Verteilung: \(\mu=16\,\text{kWh}\), σ bleibt 7 kWh. Plus 10 % streckt sie: \(\mu=15{,}4\,\text{kWh}\) und \(\sigma=7{,}7\,\text{kWh}\) — die Schwankung wächst mit.