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Übung — AFB III (Begründen)

Zehn Aufgaben zum Begründen, Beurteilen und Entwickeln — hier zählt die Argumentation.

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Aufgabenblock — AFB III

Zehn offene Aufgaben: begründen, beurteilen, Stellung nehmen, ein Spiel entwerfen. Die Musterlösung zeigt eine vollständige Argumentation.

A1
Gleiche Äste
AFB III

Begründe: Gilt \(P_A(B)=P_{\overline A}(B)\), dann ist \(P_A(B)=P(B)\).

Hinweis: Schreibe \(P(B)\) mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (beide Pfade zu \(B\)).

Strategie: P(B) als Summe der beiden Pfade schreiben und den gemeinsamen Faktor ausklammern.Warum so? Die Aussage verbindet Baum und Unabhängigkeit — beides steht in dieser Summe.
Lösungsskizze: \(P(B)=P(A)\cdot q+P(\overline A)\cdot q\) mit \(q=P_A(B)\).
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Musterlösung: Sei \(q=P_A(B)=P_{\overline A}(B)\). Dann ist \(P(B)=P(A)\cdot q+P(\overline A)\cdot q=q\cdot\big(P(A)+P(\overline A)\big)=q\cdot1=q\). Also \(P_A(B)=P(B)\) — das Eintreten von \(A\) ändert die Wahrscheinlichkeit von \(B\) nicht.

A2
99 % Trefferquote
AFB III

Beurteile die Aussage: „Der Test erkennt 99 % der Erkrankten. Wer positiv getestet wird, ist also zu 99 % krank.“

Nimm an: 1 % der Bevölkerung ist erkrankt, 2 % der Gesunden werden fälschlich positiv getestet.

Strategie: Mit 10 000 gedachten Personen einen Häufigkeitsbaum aufstellen.Warum so? Anzahlen machen die Umkehrung der Bedingung sichtbar.
Lösungsskizze: 100 Kranke → 99 positiv; 9900 Gesunde → 198 positiv; \(P_+(K)=\tfrac{99}{297}\).
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Musterlösung: Die Aussage verwechselt \(P_K(+)\) mit \(P_+(K)\). Von 10 000 Personen sind 100 krank (99 positiv) und 9 900 gesund (198 positiv). Von 297 Positiven sind nur 99 krank: \(P_+(K)=\tfrac{99}{297}\approx33\,\%\). Die Aussage ist falsch; bei seltenen Krankheiten ist ein positives Ergebnis viel unsicherer als die Trefferquote.

A3
Unvereinbar und abhängig
AFB III

Zeige: Zwei unvereinbare Ereignisse \(A\), \(B\) mit \(P(A)>0\) und \(P(B)>0\) sind stochastisch abhängig.

Strategie: Die Produktregel mit \(P(A\cap B)=0\) vergleichen.Warum so? Unabhängigkeit ist genau über die Produktregel definiert.
Lösungsskizze: \(P(A\cap B)=0\), aber \(P(A)\cdot P(B)>0\).
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Musterlösung: Unvereinbar heißt \(A\cap B=\emptyset\), also \(P(A\cap B)=0\). Wegen \(P(A)>0\) und \(P(B)>0\) ist \(P(A)\cdot P(B)>0\). Damit gilt \(P(A\cap B)\ne P(A)\cdot P(B)\) — die Ereignisse sind abhängig. Anschaulich: Tritt \(A\) ein, ist \(B\) sicher ausgeschlossen, \(P_A(B)=0\ne P(B)\).

A4
Ein faires Würfelspiel
AFB III

Entwickle ein faires Spiel mit einem Würfel und dem Einsatz 2 €, bei dem es genau zwei verschiedene positive Auszahlungen gibt.

Strategie: Zwei Ereignisse festlegen, Auszahlungen als Unbekannte ansetzen und \(E( ext{Auszahlung})=2\) fordern.Warum so? Fair heißt: die erwartete Auszahlung entspricht dem Einsatz.
Lösungsskizze: Z. B. „6“ zahlt \(a\), „4 oder 5“ zahlt \(b\): \(\tfrac a6+\tfrac{2b}6=2\), also \(a+2b=12\).
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Musterlösung: Beispiel: Bei einer 6 gibt es 6 €, bei einer 4 oder 5 jeweils 3 €, sonst nichts. \(E(A)=6\cdot\tfrac16+3\cdot\tfrac26=1+1=2\) €, gleich dem Einsatz, also \(E(G)=0\). Jede Wahl mit \(a+2b=12\) und \(a\ne b\), \(a,b>0\) ist ebenfalls fair.

A5
Tombola aus Veranstaltersicht
AFB III

Der Reingewinn eines Loskäufers hat den Erwartungswert \(-0{,}25\) €. Deute diesen Wert für den Veranstalter, der 2 000 Lose verkauft.

Strategie: Den Erwartungswert mit der Anzahl der Lose multiplizieren und das Vorzeichen umdeuten.Warum so? Der Verlust der Spieler ist der Gewinn des Veranstalters.
Lösungsskizze: \(2000\cdot0{,}25=500\) €.
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Musterlösung: Pro Los verliert ein Spieler im Mittel 25 Cent; dieser Betrag bleibt beim Veranstalter. Bei 2 000 Losen erwartet er einen Überschuss von etwa \(2000\cdot0{,}25=500\) €. Das ist ein Mittelwert: Der tatsächliche Überschuss schwankt, weil nicht exakt 15 % bzw. 5 % Gewinnlose gezogen werden.

A6
Sicher oder riskant?
AFB III

Spiel A zahlt sicher 2 €. Spiel B zahlt mit Wahrscheinlichkeit 0,1 genau 20 €, sonst nichts. Vergleiche beide Spiele mithilfe von \(\mu\) und \(\sigma\) und nimm Stellung, welches man wählen sollte.

Strategie: Erst beide Erwartungswerte, dann beide Standardabweichungen berechnen.Warum so? Gleiche Erwartungswerte lassen sich nur über das Risiko unterscheiden.
Lösungsskizze: \(\mu_A=\mu_B=2\); \(\sigma_A=0\); \(\sigma_B=\sqrt{18^2\cdot0{,}1+2^2\cdot0{,}9}=6\).
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Musterlösung: Beide Spiele haben \(\mu=2\) €. Spiel A hat \(\sigma=0\), Spiel B \(\sigma=\sqrt{32{,}4+3{,}6}=6\) €. Auf lange Sicht sind sie gleich gut; B schwankt aber stark — in 9 von 10 Fällen gibt es nichts. Wer Sicherheit will, wählt A; wer die Chance auf 20 € sucht und Verluste in Kauf nimmt, B. Eine begründete Wahl nennt beide Kenngrößen.

A7
Alle Auszahlungen plus 1 €
AFB III

Bei einem Spiel werden alle Auszahlungen um 1 € erhöht. Erläutere, wie sich \(\mu\) und \(\sigma\) ändern.

Strategie: In die Formeln \(x_i+1\) statt \(x_i\) einsetzen.Warum so? Die Formeln zeigen direkt, welche Größe sich verschiebt und welche nicht.
Lösungsskizze: \(\sum(x_i+1)\,p_i=\mu+1\); Abstände \((x_i+1)-(\mu+1)=x_i-\mu\).
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Musterlösung: \(E(X+1)=\sum(x_i+1)\cdot p_i=\sum x_i p_i+\sum p_i=\mu+1\): Der Erwartungswert steigt um 1 €. Die Abweichungen vom neuen Erwartungswert bleiben \(x_i-\mu\), also ändern sich \(V(X)\) und \(\sigma\) nicht. Anschaulich: Das Histogramm wird nur verschoben, nicht breiter.

A8
Wie groß muss das Gewinnfeld sein?
AFB III

Ein Glücksrad hat ein Gewinnfeld, das 4 € auszahlt; der Rest zahlt nichts. Der Einsatz ist 1 €. Ermittle den Anteil \(p\) des Gewinnfelds, für den das Spiel fair ist, und beurteile ein Rad mit \(p=0{,}2\).

Strategie: \(E(G)=0\) als Gleichung in \(p\) aufstellen.Warum so? Die Unbekannte steckt in der Wahrscheinlichkeit, nicht in der Auszahlung.
Lösungsskizze: \(3p+(-1)(1-p)=0\Rightarrow 4p=1\).
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Musterlösung: \(E(G)=3\cdot p-1\cdot(1-p)=4p-1=0\Rightarrow p=0{,}25\). Das Gewinnfeld muss ein Viertel des Rades einnehmen. Bei \(p=0{,}2\) ist \(E(G)=4\cdot0{,}2-1=-0{,}2\) €: Der Spieler verliert im Mittel 20 Cent pro Spiel, das Spiel ist ungünstig.

A9
Schwarz ist fällig
AFB III

Beim Roulette kam fünfmal hintereinander Rot. Jemand setzt jetzt auf Schwarz, „weil Schwarz jetzt fällig ist“. Beurteile diese Überlegung.

Strategie: Klären, ob die Drehungen voneinander abhängen.Warum so? „Fällig“ unterstellt ein Gedächtnis des Zufallsgeräts.
Lösungsskizze: Drehungen sind unabhängig: \(P_{5\text{-mal Rot}}(\text{Schwarz})=P(\text{Schwarz})=\tfrac{18}{37}\).
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Musterlösung: Die Drehungen sind stochastisch unabhängig; das Rad „weiß“ nichts von den vorigen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit für Schwarz bleibt \(\tfrac{18}{37}\approx0{,}49\). Das Gesetz der großen Zahlen gleicht die relativen Häufigkeiten auf lange Sicht an, nicht einzelne Serien. Die Überlegung ist ein Fehlschluss (Spielerfehlschluss).

A10
Stichprobe aus einer großen Menge
AFB III

Aus 5 000 Losen, von denen 500 Gewinne sind, werden zwei Lose ohne Zurücklegen gezogen. Begründe rechnerisch, dass man hier näherungsweise wie mit Zurücklegen rechnen darf.

Strategie: P(zwei Gewinne) für beide Verfahren berechnen und die Differenz betrachten.Warum so? „Näherungsweise“ lässt sich an einer konkreten Abweichung festmachen.
Lösungsskizze: Mit: \(0{,}1^2=0{,}01\); ohne: \(\tfrac{500}{5000}\cdot\tfrac{499}{4999}\approx0{,}00998\).
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Musterlösung: Mit Zurücklegen: \(0{,}1\cdot0{,}1=0{,}01\). Ohne Zurücklegen: \(0{,}1\cdot\tfrac{499}{4999}\approx0{,}009982\). Der Unterschied beträgt etwa \(0{,}00002\), also weniger als 0,2 % des Wertes. Weil ein gezogenes Los den Anteil in der großen Menge kaum verändert, darf man mit Zurücklegen rechnen — die Grundlage für die Binomialverteilung im nächsten Kapitel.