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Übung — AFB II (Zusammenhänge)

Zehn Aufgaben mit Sachkontext — hier müssen Tafel, Baum und Kenngrößen zusammenarbeiten.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben, in denen mehrere Schritte zusammenkommen: Baum umkehren, Unabhängigkeit prüfen, Spiele bewerten. Die Tipps stufen den Weg ab.

A1
Pünktlich mit dem Rad?
AFB II

40 % der Schülerinnen und Schüler einer Schule kommen mit dem Rad (\(R\)). Von den Radfahrern sind 90 % pünktlich (\(P\)), von den übrigen 70 %.

a) Berechne \(P(R\cap P)\). b) Berechne \(P(P)\). c) Eine pünktliche Person wird zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie mit dem Rad kam.

Ansatz: Baum mit erster Stufe \(R\) zeichnen; c) ist die umgekehrte Bedingung.
Rechenweg: \(0{,}4\cdot0{,}9=0{,}36\); \(0{,}6\cdot0{,}7=0{,}42\); \(P_P(R)=\tfrac{0{,}36}{0{,}78}\).
Lösung: a) 0,36 b) 0,78 c) ≈ 0,46
Vollständige Lösung
a) Pfad \(R\to P\): \(0{,}4\cdot0{,}9=0{,}36\). b) Beide Pfade zu \(P\): \(0{,}36+0{,}6\cdot0{,}7=0{,}78\). c) \(P_P(R)=\dfrac{0{,}36}{0{,}78}\approx0{,}46\) — knapp die Hälfte der Pünktlichen kommt mit dem Rad.
A2
Ausschuss aus zwei Maschinen
AFB II

Maschine M1 fertigt 70 % der Teile, Maschine M2 den Rest. M1 produziert 2 % Ausschuss, M2 5 %.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Teil Ausschuss ist. b) Ein Teil ist Ausschuss. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es von M2 stammt.

Ansatz: Baum: erste Stufe Maschine, zweite Stufe Ausschuss \(A\).
Rechenweg: \(0{,}7\cdot0{,}02=0{,}014\), \(0{,}3\cdot0{,}05=0{,}015\); b) \(\tfrac{0{,}015}{0{,}029}\).
Lösung: a) 0,029 b) ≈ 0,52
Vollständige Lösung
a) \(P(A)=0{,}014+0{,}015=0{,}029\). b) \(P_A(M2)=\dfrac{0{,}015}{0{,}029}\approx0{,}52\). Obwohl M2 nur 30 % fertigt, stammt über die Hälfte des Ausschusses von M2.
A3
Kaffee und Frühaufsteher
AFB II

Von 200 Befragten trinken 120 morgens Kaffee (\(K\)), 80 sind Frühaufsteher (\(F\)), 48 sind beides.

a) Berechne \(P_F(K)\). b) Berechne \(P(K)\). c) Gib \(P(K)\cdot P(F)\) an und entscheide, ob \(K\) und \(F\) unabhängig sind.

Ansatz: Anteil der Kaffeetrinker unter den Frühaufstehern mit dem Anteil unter allen vergleichen.
Rechenweg: \(\tfrac{48}{80}\), \(\tfrac{120}{200}\), \(0{,}6\cdot0{,}4\) und mit \(P(K\cap F)=\tfrac{48}{200}\) vergleichen.
Lösung: a) 0,6 b) 0,6 c) 0,24 = P(K ∩ F) → unabhängig
Vollständige Lösung
\(P_F(K)=\tfrac{48}{80}=0{,}6=P(K)\). Außerdem \(P(K)\cdot P(F)=0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24=\tfrac{48}{200}=P(K\cap F)\). Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig.
A4
Zwei gleiche Farben
AFB II

Eine Urne enthält 3 rote und 5 grüne Kugeln. Es werden zwei Kugeln gezogen.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Farben ohne Zurücklegen. b) Berechne sie mit Zurücklegen.

Ansatz: „gleiche Farbe“ = rot-rot oder grün-grün; beide Pfade addieren.
Rechenweg: ohne: \(\tfrac38\cdot\tfrac27+\tfrac58\cdot\tfrac47\); mit: \(\left(\tfrac38\right)^2+\left(\tfrac58\right)^2\).
Lösung: a) 26/56 ≈ 0,46 b) 34/64 ≈ 0,53
Vollständige Lösung
a) \(\tfrac{6}{56}+\tfrac{20}{56}=\tfrac{26}{56}\approx0{,}46\). b) \(\tfrac{9}{64}+\tfrac{25}{64}=\tfrac{34}{64}\approx0{,}53\). Ohne Zurücklegen sinkt die Chance auf gleiche Farben.
A5
Dreimal Münzwurf
AFB II

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. \(X\) ist die Anzahl der Würfe mit „Zahl“.

a) Berechne \(P(X=2)\). b) Berechne \(P(X\ge1)\).

Ansatz: Alle 8 Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich; b) über das Gegenereignis \(X=0\).
Rechenweg: \(X=2\): ZZW, ZWZ, WZZ; \(P(X=0)=\tfrac18\).
Lösung: a) 3/8 = 0,375 b) 7/8 = 0,875
Vollständige Lösung
a) Drei der acht Pfade: \(\tfrac38=0{,}375\). b) \(1-P(X=0)=1-\tfrac18=\tfrac78=0{,}875\).
A6
Glücksrad mit Einsatz
AFB II

Ein Glücksrad zahlt mit Wahrscheinlichkeit \(\tfrac12\) nichts, mit \(\tfrac14\) 1 €, mit \(\tfrac18\) 2 € und mit \(\tfrac18\) 5 € aus. Der Einsatz beträgt 1 €.

a) Berechne den Erwartungswert der Auszahlung. b) Berechne den Erwartungswert des Reingewinns.

€
€
Ansatz: Auszahlungen mit ihren Wahrscheinlichkeiten gewichten; Gewinn = Auszahlung − Einsatz.
Rechenweg: \(0+\tfrac14+\tfrac28+\tfrac58\); dann 1 € abziehen.
Lösung: a) 1,125 € b) 0,125 €
Vollständige Lösung
a) \(E(A)=0\cdot\tfrac12+1\cdot\tfrac14+2\cdot\tfrac18+5\cdot\tfrac18=1{,}125\) €. b) \(E(G)=1{,}125-1=0{,}125\) € — das Spiel ist für den Spieler günstig.
A7
Fairer Einsatz
AFB II

Zwei Würfel werden geworfen. Bei der Augensumme 7 erhält man 5 €, bei einem Pasch 2 €, sonst nichts.

a) Gib die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 an. b) Berechne den Einsatz, bei dem das Spiel fair ist (auf Cent gerundet).

€
Ansatz: Fair heißt: Einsatz = erwartete Auszahlung.
Rechenweg: Summe 7: 6 von 36 Paaren; Pasch: 6 von 36. \(E(A)=5\cdot\tfrac16+2\cdot\tfrac16\).
Lösung: a) 1/6 b) 7/6 € ≈ 1,17 €
Vollständige Lösung
a) (1|6), (2|5), …, (6|1): \(\tfrac{6}{36}=\tfrac16\). b) \(E(A)=\tfrac56+\tfrac26=\tfrac76\approx1{,}17\) €. Bei diesem Einsatz ist \(E(G)=0\).
A8
Zwei Spiele, ein Erwartungswert
AFB II

Spiel A zahlt 0 € oder 4 €, Spiel B zahlt 1 € oder 3 € — jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5.

a) Berechne \(\sigma\) für Spiel A. b) Berechne \(\sigma\) für Spiel B.

€
€
Ansatz: Beide Spiele haben \(\mu=2\) €. Nur die Abstände zum Mittel unterscheiden sich.
Rechenweg: A: \(V=2^2\cdot0{,}5\cdot2=4\); B: \(V=1^2\cdot0{,}5\cdot2=1\).
Lösung: a) 2 € b) 1 €
Vollständige Lösung
Beide haben \(\mu=2\) €. A: \(V=(0-2)^2\cdot0{,}5+(4-2)^2\cdot0{,}5=4\), \(\sigma=2\) €. B: \(V=1\), \(\sigma=1\) €. Spiel A ist riskanter.
A9
Versuchsreihe am Glücksrad
AFB II

Ein Glücksrad zeigt 1 (Wahrscheinlichkeit 0,5), 2 (0,3) oder 5 (0,2). Bei 50 Drehungen kamen 20-mal die 1, 18-mal die 2 und 12-mal die 5.

a) Berechne den Mittelwert \(\bar x\) der Versuchsreihe. b) Berechne die Abweichung \(\bar x-\mu\).

Ansatz: \(\bar x\) mit relativen Häufigkeiten, \(\mu\) mit Wahrscheinlichkeiten.
Rechenweg: \(\bar x=\tfrac{20\cdot1+18\cdot2+12\cdot5}{50}\); \(\mu=0{,}5+0{,}6+1=2{,}1\).
Lösung: a) 2,32 b) 0,22
Vollständige Lösung
a) \(\bar x=\tfrac{116}{50}=2{,}32\). b) \(\mu=2{,}1\), also \(\bar x-\mu=0{,}22\). Bei nur 50 Drehungen ist eine solche Abweichung normal.
A10
Fehlende Äste
AFB II

Es gilt \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) und \(P_A(B)=0{,}8\).

a) Berechne \(P_{\overline A}(B)\). b) Berechne \(P_B(A)\).

Ansatz: Erst \(P(A\cap B)\), dann \(P(\overline A\cap B)=P(B)-P(A\cap B)\).
Rechenweg: \(P(A\cap B)=0{,}32\); \(P(\overline A\cap B)=0{,}18\); \(P_{\overline A}(B)=\tfrac{0{,}18}{0{,}6}\).
Lösung: a) 0,3 b) 0,64
Vollständige Lösung
\(P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}8=0{,}32\). a) \(P_{\overline A}(B)=\tfrac{0{,}5-0{,}32}{0{,}6}=0{,}3\). b) \(P_B(A)=\tfrac{0{,}32}{0{,}5}=0{,}64\).