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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben zu bedingten Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Klausur schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Tafel lesen, Pfadregel, bedingte Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung ausrechnen.

A1
Vierfeldertafel ergänzen
AFB I

In einer Vierfeldertafel gilt \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}4\) und \(P(A\cap B)=0{,}1\). Berechne \(P(\overline A\cap\overline B)\).

Tafel: Erst \(P(A\cap\overline B)=0{,}2\) und \(P(\overline A)=0{,}7\), dann Zeile \(\overline A\) auffüllen.
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\(P(\overline A\cap B)=0{,}4-0{,}1=0{,}3\), also \(P(\overline A\cap\overline B)=0{,}7-0{,}3\) = 0,4
A2
Pfadregel
AFB I

Im Baum gilt \(P(A)=0{,}6\) und \(P_A(B)=0{,}5\). Berechne \(P(A\cap B)\).

Pfadregel: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)\).
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\(0{,}6\cdot0{,}5\) = 0,3
A3
Anteil in der Gruppe
AFB I

Von 250 Befragten spielen 100 ein Instrument (\(I\)). 40 von ihnen singen auch im Chor (\(C\)). Berechne \(P_I(C)\).

Bezugsgruppe: Nur die 100 Instrumentalisten zählen — nicht alle 250.
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\(P_I(C)=\dfrac{40}{100}\) = 0,4
A4
Formel der bedingten W.
AFB I

Es gilt \(P(A\cap B)=0{,}12\) und \(P(A)=0{,}4\). Berechne \(P_A(B)\).

Formel: \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\).
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\(\dfrac{0{,}12}{0{,}4}\) = 0,3
A5
Unabhängige Ereignisse
AFB I

\(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig mit \(P(A)=0{,}5\) und \(P(B)=0{,}3\). Berechne \(P(A\cap B)\).

Produktregel: Bei Unabhängigkeit gilt \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
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\(0{,}5\cdot0{,}3\) = 0,15
A6
Ohne Zurücklegen
AFB I

Aus einer Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide rot sind (Bruch oder zwei Nachkommastellen).

2. Zug: Nach einer roten Kugel sind noch 3 rote von 9 Kugeln übrig.
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\(\tfrac4{10}\cdot\tfrac39=\tfrac{12}{90}=\tfrac2{15}\) ≈ 0,13
A7
Verteilung vervollständigen
AFB I

Eine Zufallsgröße \(X\) nimmt nur die Werte 0, 1 und 2 an. Es gilt \(P(X=0)=0{,}25\) und \(P(X=1)=0{,}5\). Berechne \(P(X=2)\).

Summe: Alle Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung ergeben zusammen 1.
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\(1-0{,}25-0{,}5\) = 0,25
A8
Erwartungswert
AFB I

\(X\) nimmt die Werte 0, 2 und 10 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5; 0,3 und 0,2 an. Berechne \(E(X)\).

Formel: \(E(X)=\sum x_i\cdot P(X=x_i)\).
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\(0\cdot0{,}5+2\cdot0{,}3+10\cdot0{,}2=0+0{,}6+2\) = 2,6
A9
Standardabweichung
AFB I

\(X\) nimmt die Werte 1 und 5 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 an. Berechne die Standardabweichung \(\sigma\).

Schritte: \(\mu\) berechnen, Abweichungen quadrieren, gewichten, addieren, Wurzel ziehen.
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\(\mu=3\); \(V(X)=(1-3)^2\cdot0{,}5+(5-3)^2\cdot0{,}5=4\); \(\sigma=\sqrt4\) = 2
A10
Kenngrößen mit dem GTR
AFB I

\(X\) nimmt die Werte \(-1\), 2 und 7 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,6; 0,3 und 0,1 an. Bestimme \(E(X)\) und \(\sigma\) mit dem GTR (zwei Nachkommastellen).

GTR (Casio fx-CG50): Statistik, Werte in List 1, Wahrscheinlichkeiten in List 2, CALC › SET: 1Var Freq = List2, dann 1-VAR: \(\bar x\) und \(\sigma_x\).
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\(E(X)=-0{,}6+0{,}6+0{,}7=0{,}7\); \(V(X)=1{,}7^2\cdot0{,}6+1{,}3^2\cdot0{,}3+6{,}3^2\cdot0{,}1=6{,}21\) σ ≈ 2,49