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Stochastische Unabhängigkeit

Zehn Übungen zur Produktregel — und zum Unterschied zwischen unabhängig und unvereinbar.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Rechnen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Welche Paare sind unabhängig?
AFB I

Markiere alle Fälle, in denen A und B stochastisch unabhängig sind.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Prüfe immer eine der beiden Bedingungen: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) oder PA(B) = P(B). Unvereinbare Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit sind nie unabhängig.
A2
Stimmt's? — Unabhängigkeit
AFB I

Fünf Behauptungen über stochastische Unabhängigkeit.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Unabhängig heißt: Die Information „A ist eingetreten“ verändert die Wahrscheinlichkeit von B nicht.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze ein — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch , wenn P(A ∩ B) = P(A) · P(B) gilt. Gleichwertig dazu ist, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) mit der Wahrscheinlichkeit P(B) übereinstimmt. Im Baumdiagramm sind dann die Äste der Stufe in beiden Teilbäumen gleich beschriftet. In der Vierfeldertafel ist jedes innere Feld das der zugehörigen Randwerte.

„Unvereinbar“ ist das Gegenteil: Dann ist das innere Feld A ∩ B leer.
A4
Abhängig oder unabhängig?
AFB II

Ordne jede Angabe zu. Rechne dazu, wo nötig, fehlende Werte aus.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1unabhängig
2abhängig
Die letzte Karte: P(A ∩ B) = 0,5 + 0,4 − 0,7 = 0,2 = 0,5 · 0,4. Und P(Ā)·P(B̄) = 0,75 · 0,2 = 0,15 — auch Gegenereignisse erfüllen die Produktregel.
A5
Vereinigung bei Unabhängigkeit
AFB II

A und B sind unabhängig mit P(A) = 0,35 und P(B) = 0,6. Berechne P(A ∪ B).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Brüche wie 3/8 sind erlaubt, Enter prüft direkt.
P(A ∩ B) = 0,35 · 0,6 = 0,21, also P(A ∪ B) = 0,35 + 0,6 − 0,21 = 0,74. Kontrolle: 1 − 0,65 · 0,4 = 0,74.
A6
Der Tafel-Test
AFB I

So prüft man Daten auf Unabhängigkeit. Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Ereignisse A und B im Sachkontext festlegen
2Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten vervollständigen
3P(A), P(B) und P(A ∩ B) als relative Häufigkeiten bestimmen
4Produkt P(A) · P(B) berechnen
5Produkt mit P(A ∩ B) vergleichen
6Ergebnis im Sachkontext formulieren
Ohne klar festgelegte Ereignisse weiß man nicht, welches Feld der Tafel „A ∩ B“ ist.
A7
Instrument und Sportverein
AFB II

An einer Schule mit 500 Schülerinnen und Schülern spielen 100 ein Instrument (I), 200 sind im Sportverein (S), 40 tun beides.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. P(I)
  2. P(S)
  3. P(I ∩ S)
  4. P(I) · P(S)
  5. PS(I)
P(I ∩ S) = P(I) · P(S) = 0,08 — und PS(I) = 40/200 = 0,2 = P(I): Unter den Sportlern spielen genauso viele ein Instrument wie insgesamt.
A8
Die Tafel füllt sich selbst
AFB II

A und B sind unabhängig mit P(A) = 0,3 und P(B) = 0,6. Ordne jedem Ereignis seine Wahrscheinlichkeit zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Jedes innere Feld ist ein Produkt der Randwerte: z. B. P(Ā ∩ B̄) = 0,7 · 0,4 = 0,28.
A9
Fehlersuche: Bibliothek
AFB III

Von 400 Nutzern einer Bibliothek leihen 160 E-Books (E), 100 sind unter 18 (J), 40 davon leihen E-Books. Drei Zeilen der Auswertung sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Unabhängig und unvereinbar werden oft verwechselt — sie schließen sich bei positiven Wahrscheinlichkeiten sogar gegenseitig aus.
A10
Wie stark hängen A und B zusammen?
AFB III

Es gilt P(A) = 0,4 und P(B) = 0,5. Ordne jedem Wert von P(A ∩ B) die passende Stufe zu.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unvereinbar (PA(B) = 0), 2 = abhängig, B seltener mit A, 3 = unabhängig, 4 = abhängig, B häufiger mit A, 5 = A zieht B nach sich (PA(B) = 1). Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unvereinbar (PA(B) = 0)5 = A zieht B nach sich (PA(B) = 1)
P(A ∩ B) = 0,3
P(A ∩ B) = 0
P(A ∩ B) = 0,2
P(A ∩ B) = 0,4
P(A ∩ B) = 0,1
PA(B) = P(A ∩ B) / 0,4 ergibt der Reihe nach 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1. Unabhängig ist nur der Fall 0,5 = P(B).