Brille und Linkshändigkeit
AFB I–IIIn einem Jahrgang mit 200 Schülerinnen und Schülern tragen 60 eine Brille (B), 20 sind Linkshänder (L). 6 Personen sind Linkshänder und tragen eine Brille.
- Erstellen Sie eine vollständige Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.
- Untersuchen Sie, ob die Merkmale „Brille“ und „Linkshänder“ in diesem Jahrgang stochastisch unabhängig sind.
- Berechnen Sie \(P_L(B)\) und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(B\cap L=6\), \(B\cap\overline{L}=54\), \(\overline{B}\cap L=14\), \(\overline{B}\cap\overline{L}=126\); Randsummen 60, 140, 20, 180, Gesamt 200.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(B)=0{,}3\), \(P(L)=0{,}1\), \(P(B)\cdot P(L)=0{,}03=\tfrac{6}{200}=P(B\cap L)\). Die Merkmale sind stochastisch unabhängig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P_L(B)=\tfrac{6}{20}=0{,}3=P(B)\): Unter den Linkshändern ist der Anteil der Brillenträger genauso groß wie im ganzen Jahrgang — die Händigkeit sagt nichts über das Tragen einer Brille aus.
Zwei Prüfstationen
AFB II–IIIEin Bauteil durchläuft nacheinander zwei Fertigungsstationen. Nach Herstellerangabe arbeitet Station 1 mit Wahrscheinlichkeit 0,95 fehlerfrei, Station 2 mit Wahrscheinlichkeit 0,9. Der Hersteller geht davon aus, dass die Stationen unabhängig voneinander arbeiten.
Eine Kontrolle von 1000 Bauteilen ergibt: 40 Teile haben einen Fehler aus Station 1 (\(F_1\)), 110 einen Fehler aus Station 2 (\(F_2\)), 15 Teile haben beide Fehler.
- Berechnen Sie unter der Annahme des Herstellers die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil fehlerfrei ist bzw. genau einen Fehler hat.
- Überprüfen Sie anhand der Kontrolldaten, ob die Annahme der Unabhängigkeit haltbar ist.
- Vergleichen Sie \(P_{F_1}(F_2)\) mit \(P_{\overline{F_1}}(F_2)\) und beurteilen Sie die Annahme des Herstellers. Nennen Sie eine mögliche Ursache für den Befund.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Fehlerfrei: \(0{,}95\cdot0{,}9=0{,}855\). Genau ein Fehler: \(0{,}05\cdot0{,}9+0{,}95\cdot0{,}1=0{,}045+0{,}095=0{,}14\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(F_1)=0{,}04\), \(P(F_2)=0{,}11\), \(P(F_1)\cdot P(F_2)=0{,}0044\), aber \(P(F_1\cap F_2)=0{,}015\). Das ist mehr als das Dreifache — die Daten sprechen deutlich gegen Unabhängigkeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P_{F_1}(F_2)=\tfrac{15}{40}=0{,}375\), \(P_{\overline{F_1}}(F_2)=\tfrac{95}{960}\approx0{,}099\). Teile mit Fehler aus Station 1 bekommen fast viermal so oft auch in Station 2 einen Fehler. Die Annahme des Herstellers ist nicht haltbar; mögliche Ursache: fehlerhaftes Rohmaterial oder ein verzogenes Teil, das beide Stationen stört.